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Série de potências de ln(1+x³)

Nós podemos representar ln(1+x³) como uma série de potências, representando sua derivada como uma série de potência e então integrando essas séries. Você tem que admitir que isso é muito legal. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

temos aqui uma série infinita ea primeira coisa que eu sugiro que você faça pausado vídeo ver se você consegue expressar isso com uma série geométrica infinita e se você puder fazer isso veja se consegue verificar com o resultado dessa soma intervalo de convergência então descobrir sobre igual intervalo de x sua série geométrica infinita convergirá e qual será na verdade o resultado dessa soma então assumindo que você entender o problema vamos tentar resolver isso juntos bons primeiro fator a isso daqui isso vai simplificar o modo como expressamos a série então vejam seu fotógrafo parece que todos são visíveis por 3 x 1 quadrado então posso rescrever isso como 3x o quadrado vezes 1 - x okubo mais x levado à 6ª potência - x elevado - x a nona potência em um padrão está surgindo agora eu tenho que fechar os parentes ou usar a mesma coisa aqui e vamos ver parece que estamos tomando potências do tipo x ao cubo vou escrever assim isso é o mesmo que 3 x ao quadrado vezes podemos escrever nesse primeiro termo como x elevada 0 então - x a terceira elevado a primeira potência mas x a terceira elevada segunda potência e acho que você já percebeu lógica então temos x a terceira elevado terceira potência isso continua mas temos que nos preocupar com os sinais a troca de sinais que manteremos então isso vai ser menos um isso é positivo que a mesma coisa que menos um elevado a 0 isso é negativo que é menos um elevado a primeira potência então vamos escrever assim isso pode ser 3 x ao quadrado vezes o primeiro tempo podemos descrever como menos um ou poder escrever com o menu x a terceira potência elevada 0 então teremos mais podemos escrever como - x a terceira elevado a primeira potência - um elevado a primeira potência é igual a menos 1 x ao cubo elevada um é igual à x okubo então - x a cuba elevada a segunda potência mas x okubo elevado terceira potência e esse tema aqui - o cubo é igual - um em x ocupa elevado ao cubo é igual x a nona então vamos seguindo e dessa forma fica muito claro qual é a nossa razão comum a nossa razão comum aqui é menos x ao cubo e sobre qual intervalo isso vai convergir bem vai convergir se nosso fator comum se nosso valor absoluto de nossa razão comum for menor do que 1 então isso vai convergir se o valor se o valor da nossa razão comum o valor absoluto de nossa razão comum é igual ao menos x ao cubo for menor do que 1 ou então uma outra maneira de dizer isso é que o valor absoluto de um número negativo é igual ao valor do seu luto de um número positivo então eu posso dizer que o valor absoluto de chisa cubo é menor do que 1 ou dizer que x o cubo é menor do que 1 e é maior do que menos um isso vai acontecer se ao tomar ras cúbica de ambos os lados disso ou de todos os lados dessa equação obteremos qx deve estar entre -1 e 1 e este então vai ser o nosso intervalo de convergência e se nós estendemos nosso x é esse intervalo quanto valer essa soma isso é uma série geométrica infinita nossa razão comum se enrolando absoluto é menor do que 1 então essa soma resulta em vai ser igual o nosso primeiro do termo acho que eu posso afirmar isso já que está multiplicando a expressão toda então vai ser nosso primeiro tema e vai ser 3 x 1 quadrado sobre um - nossa razão comum então é um - x o cubo que resulta em um mais x ao cubo então o que fizemos até agora foi mostrar que esta coisa aqui é igual a esta sobre o intervalo de convergência então vou escrever isto aqui copiar e colar então sobre o intervalo de convergência se x está entre -1 e um essas duas expressões só mesmo agora podemos começar a calcular isso daqui isso aqui parece interessante você deve lembrar isso é semelhante derivada de algo familiar uma x okubo corda elevada disso é justamente 3 x 1 quadrado então isso bem aqui é derivada do logan ritmo natural de 11 x okubo o valor absoluto de 1 mas x ao cubo e se você não acredita em mim então vamos tomar diante da elevada disso aqui de fato por diversão podemos tomar antes de levado de ambos os lados e se fizermos isso então iremos mostrar essencialmente uma representação em série geométrica do que quer que seja antes de elevada disso então em coragem você após a nuvem de novo e tentar tomar antes elevada de ambos os lados dessa equação então vamos lá vamos tomar antes de levado do lado esquerdo desta equação e vamos tomar antes dele bada do lado direito agora do lado esquerdo mencionei que parece que temos uma expressão e só derivada que está pedindo por uma integração por substituição então se considerarmos que o é igual a uma x ao cubo então vou escrever isso então o é igual um mais x okubo então o que vai ser de what difference ao jogo então tcu vai ser igual a 3 x ao quadrado de x então note que nós temos um e então o deo deu é isso bem aqui então isso essa expressão aqui pode ser reescrita ela pode ser reescrita como a integral de 1 sobre o teu e então é claro que isso vai ser igual isso vai ser igual ao logar ritmo natural do valor absoluto de u logaritmo natural do valor absoluto de 'o mais alguma constante e nós sabemos que um é igual a um mais x okubo então vai ser igual ao logaritmo natural do valor do bis o luto de um mas x ao cubo mas c e agora vamos restringir nosso domínio para x ele sempre será entre -1 e um de forma que para aquele domínio o x sempre vai ser positivo não temos que escrever do símbolo de valor absoluto então isso vai ser igual ao logaritmo natural se ligou logaritmo natural de um mais x ao cubo mas se então eles o lado esquerdo e o lado direito é muito mais simples de calcular isso é simplesmente um polinômios mas iremos ter somado uma constante e s integral então ele distingui los um pouco vamos chamar essa disse um então do lado direito o que nós obtemos bom vamos ver antes de elevada disso vai ser antes de levado de x ao quadrado é x ao cubo dividido por três então esse primeiro termo antes de levado vai ser apenas x ao cubo a derivada de x o cubo é 3x ao quadrado agora esse termo aqui é menos 3 x a quinta potência ante derivada de she's a quinta é x a cesta x a sexta sobre seis mas como temos 13 multiplicando então 3 sobre seis e meio então isso vale - x a sexta / 2 usar uma cor diferente aqui seguindo uma notação coerente então este aqui é negativo antes de levado é menos x a sexta sobre dois então onde derivada de x oitava e x a nona / 9 então isso vai ser x a nona então temos esse 33 sobre 9 um terço então você pode ver um padrão aparecendo vamos fazer outra só por diversão chiça 12 / 12 nem temos esse três então - x a 12 sobre quatro então continuamos e claro vamos ter uma constante e de fato nós colocamos a constante na frente então vamos copiar e colar então estou copiando e colando e agora vou escrever aqui vamos colocar outra constante que não tem que ser a mesma constante mas tudo isso daqui agora para simplificar eu posso subir 3 e 11 de ambos os lados subtrair-se um descer 2 então vou ficar com vou ficar com o logaritmo natural de um mais x ao cubo isso é legal que acabamos de fazer com um pouco de integração é igual a c2 - e um e isso é uma constante - outra constante então vai ser uma constante arbitrária uma constante arbitrária mas tudo isso daqui nós podemos descobrir quanto valença constante tentando alguns valores para x que estejam dentro do nosso domínio restrito para x men x igual a zero está entre -1 então vamos ver o que acontece quando colocamos x 1 a 0 para obter ce x foi igual a zero então teremos o logaritmo natural de um é igual a ser mas é bom todos esses temas aqui serão iguais a sesa então 0 o cubo - 0 65 por diante mas é demais é do mais é do que um lugar mítico natural de um é claro vale zero então c deve ser 0 c é igual a zero então isso bem aqui é igual a zero então o que acabamos fazer usando um pouco de integração foi começar com vamos apressar que fizemos começamos com uma série infinita e arbitrária mostramos que ela pode ser representado nada como uma série geométrica definimos intervalo de convergência para o qual o valor do piloto da razão comum é menor do que 1 então usando aquilo expressamos sua soma então tomamos antes de levado de ambos os lados para descobrir para descobrir uma expansão em série para o logaritmo natural de um mais x okubo o que ao menos para mim foi bem interessante e isso é que nós obtemos logaritmo natural de um mas sissoko é igual à x okubo - x a sexta sobre dois mais diz a nona sobre 3 e assim por diante na verdade vamos observar isso aqui um pouco mais de perto vamos escrever essa soma na notação sigma podemos escrever logaritmo natural de um mais x ao cubo sobre o domínio restrito onde o valor absoluto de x é menor que 1 isso vai ser igual à que é igual então a soma de digamos n igual a 1 até o infinito de x ao cubo elevado a eni estão aqui é a primeira potência segunda e assim por diante sobre n isso é x okubo sobre um x ao cubo ao quadrado sobre dois é claro eu tenho que colocar aqui vamos ver este primeiro vale temos que ter cuidado com sinais de se inserir menos um vamos ver - um primeira potência deve ser negativo mas aqui está positivo então será menos um elevado aí mais um - o elevado em mais um vamos checar quando é igual isso daqui se torna um isso aqui é x a cubo sobre um quando n é igual a 2 isso se torna negativo que deve ser mesmo então isso se torna x a sexta sobre dois e assim segue então terminamos a chez aula bem satisfatória