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Transcrição de vídeo

temos aqui uma série infinita ea primeira coisa que eu sugiro que você faça pausado vídeo ver se você consegue expressar isso com uma série geométrica infinita e se você puder fazer isso veja se consegue verificar com o resultado dessa soma intervalo de convergência então descobrir sobre igual intervalo de x sua série geométrica infinita convergirá e qual será na verdade o resultado dessa soma então assumindo que você entender o problema vamos tentar resolver isso juntos bons primeiro fator a isso daqui isso vai simplificar o modo como expressamos a série então vejam seu fotógrafo parece que todos são visíveis por 3 x 1 quadrado então posso rescrever isso como 3x o quadrado vezes 1 - x okubo mais x levado à 6ª potência - x elevado - x a nona potência em um padrão está surgindo agora eu tenho que fechar os parentes ou usar a mesma coisa aqui e vamos ver parece que estamos tomando potências do tipo x ao cubo vou escrever assim isso é o mesmo que 3 x ao quadrado vezes podemos escrever nesse primeiro termo como x elevada 0 então - x a terceira elevado a primeira potência mas x a terceira elevada segunda potência e acho que você já percebeu lógica então temos x a terceira elevado terceira potência isso continua mas temos que nos preocupar com os sinais a troca de sinais que manteremos então isso vai ser menos um isso é positivo que a mesma coisa que menos um elevado a 0 isso é negativo que é menos um elevado a primeira potência então vamos escrever assim isso pode ser 3 x ao quadrado vezes o primeiro tempo podemos descrever como menos um ou poder escrever com o menu x a terceira potência elevada 0 então teremos mais podemos escrever como - x a terceira elevado a primeira potência - um elevado a primeira potência é igual a menos 1 x ao cubo elevada um é igual à x okubo então - x a cuba elevada a segunda potência mas x okubo elevado terceira potência e esse tema aqui - o cubo é igual - um em x ocupa elevado ao cubo é igual x a nona então vamos seguindo e dessa forma fica muito claro qual é a nossa razão comum a nossa razão comum aqui é menos x ao cubo e sobre qual intervalo isso vai convergir bem vai convergir se nosso fator comum se nosso valor absoluto de nossa razão comum for menor do que 1 então isso vai convergir se o valor se o valor da nossa razão comum o valor absoluto de nossa razão comum é igual ao menos x ao cubo for menor do que 1 ou então uma outra maneira de dizer isso é que o valor absoluto de um número negativo é igual ao valor do seu luto de um número positivo então eu posso dizer que o valor absoluto de chisa cubo é menor do que 1 ou dizer que x o cubo é menor do que 1 e é maior do que menos um isso vai acontecer se ao tomar ras cúbica de ambos os lados disso ou de todos os lados dessa equação obteremos qx deve estar entre -1 e 1 e este então vai ser o nosso intervalo de convergência e se nós estendemos nosso x é esse intervalo quanto valer essa soma isso é uma série geométrica infinita nossa razão comum se enrolando absoluto é menor do que 1 então essa soma resulta em vai ser igual o nosso primeiro do termo acho que eu posso afirmar isso já que está multiplicando a expressão toda então vai ser nosso primeiro tema e vai ser 3 x 1 quadrado sobre um - nossa razão comum então é um - x o cubo que resulta em um mais x ao cubo então o que fizemos até agora foi mostrar que esta coisa aqui é igual a esta sobre o intervalo de convergência então vou escrever isto aqui copiar e colar então sobre o intervalo de convergência se x está entre -1 e um essas duas expressões só mesmo agora podemos começar a calcular isso daqui isso aqui parece interessante você deve lembrar isso é semelhante derivada de algo familiar uma x okubo corda elevada disso é justamente 3 x 1 quadrado então isso bem aqui é derivada do logan ritmo natural de 11 x okubo o valor absoluto de 1 mas x ao cubo e se você não acredita em mim então vamos tomar diante da elevada disso aqui de fato por diversão podemos tomar antes de levado de ambos os lados e se fizermos isso então iremos mostrar essencialmente uma representação em série geométrica do que quer que seja antes de elevada disso então em coragem você após a nuvem de novo e tentar tomar antes elevada de ambos os lados dessa equação então vamos lá vamos tomar antes de levado do lado esquerdo desta equação e vamos tomar antes dele bada do lado direito agora do lado esquerdo mencionei que parece que temos uma expressão e só derivada que está pedindo por uma integração por substituição então se considerarmos que o é igual a uma x ao cubo então vou escrever isso então o é igual um mais x okubo então o que vai ser de what difference ao jogo então tcu vai ser igual a 3 x ao quadrado de x então note que nós temos um e então o deo deu é isso bem aqui então isso essa expressão aqui pode ser reescrita ela pode ser reescrita como a integral de 1 sobre o teu e então é claro que isso vai ser igual isso vai ser igual ao logar ritmo natural do valor absoluto de u logaritmo natural do valor absoluto de 'o mais alguma constante e nós sabemos que um é igual a um mais x okubo então vai ser igual ao logaritmo natural do valor do bis o luto de um mas x ao cubo mas c e agora vamos restringir nosso domínio para x ele sempre será entre -1 e um de forma que para aquele domínio o x sempre vai ser positivo não temos que escrever do símbolo de valor absoluto então isso vai ser igual ao logaritmo natural se ligou logaritmo natural de um mais x ao cubo mas se então eles o lado esquerdo e o lado direito é muito mais simples de calcular isso é simplesmente um polinômios mas iremos ter somado uma constante e s integral então ele distingui los um pouco vamos chamar essa disse um então do lado direito o que nós obtemos bom vamos ver antes de elevada disso vai ser antes de levado de x ao quadrado é x ao cubo dividido por três então esse primeiro termo antes de levado vai ser apenas x ao cubo a derivada de x o cubo é 3x ao quadrado agora esse termo aqui é menos 3 x a quinta potência ante derivada de she's a quinta é x a cesta x a sexta sobre seis mas como temos 13 multiplicando então 3 sobre seis e meio então isso vale - x a sexta / 2 usar uma cor diferente aqui seguindo uma notação coerente então este aqui é negativo antes de levado é menos x a sexta sobre dois então onde derivada de x oitava e x a nona / 9 então isso vai ser x a nona então temos esse 33 sobre 9 um terço então você pode ver um padrão aparecendo vamos fazer outra só por diversão chiça 12 / 12 nem temos esse três então - x a 12 sobre quatro então continuamos e claro vamos ter uma constante e de fato nós colocamos a constante na frente então vamos copiar e colar então estou copiando e colando e agora vou escrever aqui vamos colocar outra constante que não tem que ser a mesma constante mas tudo isso daqui agora para simplificar eu posso subir 3 e 11 de ambos os lados subtrair-se um descer 2 então vou ficar com vou ficar com o logaritmo natural de um mais x ao cubo isso é legal que acabamos de fazer com um pouco de integração é igual a c2 - e um e isso é uma constante - outra constante então vai ser uma constante arbitrária uma constante arbitrária mas tudo isso daqui nós podemos descobrir quanto valença constante tentando alguns valores para x que estejam dentro do nosso domínio restrito para x men x igual a zero está entre -1 então vamos ver o que acontece quando colocamos x 1 a 0 para obter ce x foi igual a zero então teremos o logaritmo natural de um é igual a ser mas é bom todos esses temas aqui serão iguais a sesa então 0 o cubo - 0 65 por diante mas é demais é do mais é do que um lugar mítico natural de um é claro vale zero então c deve ser 0 c é igual a zero então isso bem aqui é igual a zero então o que acabamos fazer usando um pouco de integração foi começar com vamos apressar que fizemos começamos com uma série infinita e arbitrária mostramos que ela pode ser representado nada como uma série geométrica definimos intervalo de convergência para o qual o valor do piloto da razão comum é menor do que 1 então usando aquilo expressamos sua soma então tomamos antes de levado de ambos os lados para descobrir para descobrir uma expansão em série para o logaritmo natural de um mais x okubo o que ao menos para mim foi bem interessante e isso é que nós obtemos logaritmo natural de um mas sissoko é igual à x okubo - x a sexta sobre dois mais diz a nona sobre 3 e assim por diante na verdade vamos observar isso aqui um pouco mais de perto vamos escrever essa soma na notação sigma podemos escrever logaritmo natural de um mais x ao cubo sobre o domínio restrito onde o valor absoluto de x é menor que 1 isso vai ser igual à que é igual então a soma de digamos n igual a 1 até o infinito de x ao cubo elevado a eni estão aqui é a primeira potência segunda e assim por diante sobre n isso é x okubo sobre um x ao cubo ao quadrado sobre dois é claro eu tenho que colocar aqui vamos ver este primeiro vale temos que ter cuidado com sinais de se inserir menos um vamos ver - um primeira potência deve ser negativo mas aqui está positivo então será menos um elevado aí mais um - o elevado em mais um vamos checar quando é igual isso daqui se torna um isso aqui é x a cubo sobre um quando n é igual a 2 isso se torna negativo que deve ser mesmo então isso se torna x a sexta sobre dois e assim segue então terminamos a chez aula bem satisfatória
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