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Série de Maclaurin de sen(x)

Aproximação do valor do sen(x) com uma série de Maclaurin (que é como um polinômio de Taylor centrado em x=0 com infinitos termos). Resulta que esta série é exatamente igual à própria função! Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

RKA14C No vídeo passado, nós usamos a série de Maclaurin para aproximar a função cos x. O polinômio usado nessa aproximação foi este aqui. Percebemos que tinha um padrão de construção bem interessante dos termos desse polinômio. Vamos agora tentar ver se a gente consegue algo parecido quando a gente aproxima a função sen x. Lembrando que a série de Maclaurin é o mesmo que a série de Taylor quando centramos a nossa aproximação em torno de x = 0. A série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor. Então, vamos lá! Vamos dizer que a gente tem a função f(x) = sen x Rapidamente, vamos calcular aqui a derivada dessa função. Vamos fazer então. Aqui seria f'x, a derivada primeira. A derivada de seno é cosseno, então, cos x. Vamos também fazer aqui a derivada segunda da nossa função f(x). Então, a derivada segunda de seno é a derivada de cosseno, que fica -sen x. Aqui a gente vai fazer agora a derivada terceira. Vou começar a escrever aqui 3 para não ter que ficar colocando todas aquelas linhas. Então, a derivada terceira da nossa função vai ser a derivada de -sen, que vai dar -cos x. Por fim, vamos fazer aqui também a derivada quarta da nossa função, que seria a derivada de -cos, que dá sen x. Assim como aconteceu no cosseno, você percebe que aqui também, conforme a gente vai fazendo as derivadas aqui, a gente tem um ciclo de repetição. Mas na série de Maclaurin estamos interessados em calcular tanto a função que estamos usando aqui como as suas derivadas em x = 0. Então, vamos fazer isso! Vamos calcular aqui quanto é a nossa função f aplicada em zero. Então, vai ficar f(0) = sen 0. sen 0 = 0 Então, f(0) = 0. Vamos fazer também a derivada primeira da nossa função avaliada em zero. Então, aqui vai dar cos 0. Cos 0 = 1. Quando fizermos a derivada segunda da nossa função avaliada em zero, isso vai ficar -sen 0, isso vai dar 0 também. Quando formos para a nossa derivada terceira da função avaliada em zero, isso vai ficar -cos 0. cos 0 já vimos que é 1, então isto aqui vai ficar -1. A derivada quarta da nossa função avaliada em zero vai ser igual a sen 0, que já vimos que dá zero. Você pode perceber que tem um padrão de repetição aqui também. 0, 1, 0, -1. Você pode continuar fazendo essas derivadas que vai sempre se repetir esse padrão 0, 1, 0, -1. Vamos então procurar esse polinômio usando a série de Maclaurin. Mas, antes, vamos recordar uma coisa aqui. Este polinômio aqui é uma aproximação de cos x. Quanto mais termos eu vou colocando aqui nesse polinômio, melhor vai ficando essa nossa aproximação, mais próximo a gente chega de cos x. Aqui não vou falar sobre quão próximo a gente chega sobre cos x, mas, em teoria, se a gente colocar uma infinidade de termos aqui, a gente faz uma aproximação praticamente perfeita de cos x. Vamos lá, agora a gente está procurando o nosso polinômio... Vamos colocar aqui o nosso novo polinômio P(x), vamos colocar de outra cor. Este polinômio aqui, agora vai ser a aproximação de sen x. Então, para a gente fazer a aproximação de sen x, vamos relembrar aqui. Eu vou precisar de f(0), mas a gente já sabe que f(0) = 0, então não vai aparecer. A gente vai ter aqui f'(0) vezes x. Aqui f'(0) = 1. Então, esse cara vai aparecer, e vamos ter o nosso primeiro termo. O nosso primeiro termo aqui do polinômio vai aparecer: 1 vezes x, que vai dar o próprio x. Mais... Aqui nós vamos ter f''(0), a derivada segunda da função avaliada em zero, que a gente viu que é zero também. Então, aqui mais um termo que não aparece, o termo quadrático não vai ter. Mais... A derivada terceira aqui avaliada em zero vezes x³ sobre 3 fatorial. A gente vai ver que a derivada terceira deu -1. Então, aqui a gente vai ter -1. vezes x³ sobre 3!. Continuando, a gente tem agora... O próximo termo seria a derivada quarta da nossa função avaliada em zero vezes x⁴ dividido por 4!. Mas a derivada quarta da função avaliada em zero deu zero também. Então, é mais um termo que não aparece. Aí, a gente vai conseguindo perceber que tem um padrão aqui. Na verdade, acho que vou fazer um termo a mais aqui para a gente perceber melhor, para você enxergar melhor esse padrão. Vamos calcular a nossa derivada de ordem 5: f⁽⁵⁾(x). Vai ser a derivada de sen x, que é cos x. Se a gente for avaliar essa derivada de ordem 5 aqui em zero... Vamos usar a mesma cor para dar mais consistência ao padrão. Então, vai ficar f⁽⁵⁾(0), vai ficar cos 0, isso vai dar 1. Então, realmente temos aquele padrão acontecendo. Voltando lá, tínhamos a derivada de ordem 4 avaliada em zero, deu zero, e esse pedaço sumiu. O próximo termo seria a derivada de ordem 5 avaliada em zero vezes x⁵ sobre 5!. Mas aqui a derivada de ordem 5 avaliada em zero deu 1... Então, aqui o nosso coeficiente, o nosso próximo coeficiente vai ser 1. Mais 1. Uma bobagem de se escrever, né... 1 vezes qualquer coisa dá essa própria coisa. Então, vai ficar x⁵ sobre 5!. Mas olha só que interessante aqui, se a gente pegar o polinômio P(x), que é a aproximação do cosseno, ele tem uma certa lógica de construção, tem um certo padrão. A gente tem os sinais: +, -, +, -, +, -, ou seja, a gente está intercalando um sinal positivo e um negativo. Para as potências, também acontece algo bastante interessante. Aqui a gente tem o número 1. Se a gente pensar, aqui é uma potência de x, é x⁰. x⁰ = 1. Então, aqui a gente tem x⁰, x², x⁴, x⁶, x⁸, x¹⁰... Ou seja, nesse polinômio que aproxima o cosseno, a gente está usando apenas potências de ordem par. Aqui no polinômio de baixo, que a gente está fazendo para aproximar o seno, vai acontecer algo parecido, a gente vai ter um padrão também de repetição. A gente vai intercalar os sinais aqui, então vai ficar +, -, +, -, a gente vai ficar intercalando o sinal. Porém, as potências que vão aparecer são apenas potências de ordem impar: x¹, x³, x⁵, e assim por diante. E a gente pode continuar se quiser, é +, -, +, - aqui. Então, o próximo seria ordem impar: x⁷ sobre 7!. Eu posso continuar... Mais x⁹ sobre 9!, Posso ir o quanto eu quiser aqui. Mas o legal é que vai dar a sensação aqui de que o seno e o cosseno têm uma natureza complementar, é como se o pedaço de um fosse preenchendo as lacunas do outro, como se eles fossem se completando aqui. Então, a gente tem aqui no cosseno apenas expoentes pares, potências com expoentes pares divididos por esse mesmo expoente fatorial. E aqui no seno a gente tem potências impares divididas por esse mesmo valor do expoente fatorial. No próximo vídeo, vamos fazer a aproximação de eˣ. O que é mais fascinante é que eˣ começa a aparecer mais ou menos como uma combinação aqui, mas não exatamente. Você só vai de fato obter essa combinação quando você envolver os números imaginários. Aí que a coisa começa a ficar realmente impressionante!