Visualização de aproximações da série de Taylor

RKA8JV - Já falei bastante sobre o uso de polinômios como aproximações de funções, mas neste vídeo, eu quero mostrar que a aproximação está de fato acontecendo. Então bem aqui, eu estou usando o Wolfram Alpha, um site muito bacana. Você pode fazer muita coisa relacionada com Matemática. O site é "wolframalpha.com", eu copiei isso de lá e colei aqui. Eu encontrei o Stephen Wolfram em uma conferência e disse para ele que tinha usado o site em algum vídeo e eu estou fazendo isso agora. Isso é muito útil porque, apesar de poder fazer em uma calculadora gráfica, aqui a gente pode fazer com apenas um passo. Veja como podemos aproximar o seno de "x" usando o que podemos chamar de expansão em série de Maclaurin, ou podemos chamar de expansão em série de Taylor, em "x = 0", usando mais e mais termos e tendo uma boa noção do fato de que quanto mais termos adicionamos, melhor o ajuste à curva do seno. Então, isso aqui em laranja é o seno de "x". Isso deve ser bastante familiar para você. Em vídeos anteriores, nós descobrimos qual é a expressão de Maclaurin para o seno de "x". E o Wolfram Alpha faz isso também, eles explicitam o fatorial. Então 3! é 6, 5! é 120, e assim por diante. O interessante é que aqui você pode escolher quantos termos da aproximação você quer no gráfico. E assim, se você quiser um termo da aproximação, então, se não tivéssemos isso tudo, se disséssemos que o nosso polinômio é igual a "x", com o que isso se parece? Bem, isso vai ser este gráfico bem aqui. Eles nos dizem quantos termos nós usamos, pelo número de pontos que existem no gráfico, o que eu acho bem inteligente. Então, isso aqui é uma função de ''P(x) = x". Isso é uma aproximação grosseira, embora para seno de "x" ele não seja tão mal, ele se ajusta à curva do seno bem aqui. Então, ele começa a se afastar da curva do seno novamente. Adicione outro termo, então, temos x - x³/6. Agora temos dois termos na expansão, então, acho que devemos dizer que estamos no termo da terceira ordem, porque é como estão numerados os pontos, eles não designam o número de temos, eles citam a ordem dos termos. Então, é um ponto aqui, porque temos um termo de primeiro grau. Quando temos dois temos aqui, quando você faz a expansão do seno de "x", ela não possui um termo do segundo grau. Agora temos a aproximação por um polinômio de terceiro grau. então, olhemos para o terceiro grau. Devemos ter 3 pontos. Acho que é esta curva bem aqui. Então, se temos apenas o primeiro termo, temos uma linha reta. Adicionamos àquele "x", o -x³/6, e agora você tem uma curva que se parece com isso aqui. Note que a curva se ajusta ao seno um pouco mais cedo, e continuou se ajustando por uma distância maior. Então, de novo, adicionar aquele segundo termo ajuda bastante, ele se ajusta à curva do seno muito bem, principalmente ao redor da origem. Adicione outro termo e obtemos agora um polinômio de ordem 5, bem aqui. x - x³/6 + x⁵/120. Vamos procurar pelos 5 pontos, este bem aqui. 1, 2, 3, 4, 5, esta curva aqui. Note que ela começa a se ajustar à linha um pouco mais cedo que a versão magenta, e permanece ajustada por mais tempo, então, ela vira para cima, desse jeito, e ela se ajusta por mais tempo. E você pode ver, eu irei continuar. Se você tiver esses 4 primeiros termos, temos um polinômio de sétimo grau. Vamos procurar pelos 7 pontos bem aqui. Então temos isto, eles vêm assim e de novo se ajustam à curva mais cedo do que quando tínhamos apenas os 3 primeiros termos, e continua se ajustando à curva por todo este caminho até aqui. Então, temos o último termo. Se tomarmos todos esses termos até x⁹, o resultado é ainda melhor. Você começa aqui, se ajusta à curva por mais tempo que os outros e sai. Se pararmos para pensar, faz sentido, porque o que acontece aqui, é que cada termo sucessivo que adicionamos à expansão tem um grau maior de "x" sobre um número muitíssimo maior. Então, para pequenos valores de "x" próximo à origem, este denominador irá dominar o numerador, especialmente abaixo de 1, porque quando você toma algo que tem um valor absoluto menor que 1 a uma potência positiva, você está diminuindo esse valor. Então, perto de origem, esses últimos termos não importam muito, você não está perdendo muita coisa da precisão dos outros termos. Quando estes termos de ajustes entram, quando o numerador domina o denominador, então, este último termo começa a se tornar relevante aqui fora, onde x⁹ começa a dominar 362.880. O mesmo acontece no lado negativo. Espero ter dado algum sentido. Temos apenas 1, 2, 3, 4, 5 termos aqui. Então, imagina o que aconteceria se somássemos isso a um número infinito de termos. Acho que você percebeu que ele iria se ajustar à curva do seno até o infinito. Espero que isso te faça sentir melhor a respeito. Por diversão, você pode digitar a expansão em Taylor na origem do seno de "x", ou expansão de Maclaurin ou série de Maclaurin para o seno de "x" ou cosseno de "x" no site aqui que eu falei, e tentar um monte de funções diferentes. E você pode tentar adicionar ou retirar termos para ver como eles se ajustam às curvas.