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Cálculo da derivada de uma série de potências

Dentro de seu intervalo de convergência, a derivada de uma série de potências é a soma das derivadas dos termos individuais: [Σf(x)]'=Σf'(x). Veja como isso é usado para calcular a derivada de uma série de potências.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Nós temos uma função aqui f(x) que é dada por essa série infinita aqui. O que nós queremos descobrir é qual é derivada terceira, aqui da nossa função, avaliado em "x = 0". Mais uma vez, dê uma pausa neste vídeo e veja se você consegue trabalhar nisso sozinho e depois volte aqui para resolver isso comigo. Nós temos duas maneiras aqui para abordar este problema. A primeira delas é a gente tentar tirar essas derivadas que a gente vai precisar, a partir dessa notação aqui mesmo, de somatório. Então, vamos pegar este termo aqui, derivá-lo 3 vezes a partir dessa própria expressão aqui desta notação de somatória. A outra forma aqui, a outra maneira que a gente pode usar é a gente primeiro, vamos abrir, vamos fazer a expansão disso aqui. Então, vamos escrever essa soma aqui na sua forma expandida. Depois, a gente deriva isso 3 vezes. E aí, a gente aplica e avalia este resultado em "x = 0". Eu vou começar pelo segundo modo. Então, vamos começar fazendo aqui. O que é f(x)? Vamos expandir essa soma. Bom, vamos começar com ele igual a zero. Vai ficar -1 elevado a zero, vai dar positivo. Aí, "x" elevado, aqui vai dar zero mais 3. Então, vai ficar x³, sobre, aqui vai ficar zero mais 1. Então, vai ficar sobre 1 fatorial (1!). Quando eu fizer o próximo termo, vai ficar igual a 1. E, agora, vai ser -1¹. Então, vai dar negativo aqui, porque é ímpar. Então, vai ficar x elevado a "2 + 3", vai ficar x⁵. E aqui, vai ficar 2 + 1 dá 3. 3 fatorial (3!). E aí, o próximo termo, seguindo aqui já dá para a gente perceber o padrão. Vai ser x⁷ / 5! Isso aqui eu posso ficar escrevendo assim por diante. Então, essa aqui é a nossa f(x) na sua forma expandida. O que nós vamos fazer é achar a derivada primeira desta função. Então, vamos achar f'(x). Então, vamos derivar aqui. A gente já sabe como derivar isso aqui. A gente vai fazer a regra do tombo para o expoente. Vai cair aqui, vai ficar 3 vezes x². Aqui, eu não vou nem colocar este 1!, porque nós já sabemos que é 1, não precisamos mais carregá-lo para frente. Menos, aqui caiu o 5. Então, vai ficar 5x⁴, porque diminuiu o 1, sobre 3!. Aqui, vai ficar +7 vezes x⁶. Diminuiu 1. Sobre 5! Menos, mais, a gente pode continuar aqui. Então, eu poderia substituir aqui 3! por 6, ou 5! por 120, mas não vai fazer muita diferença. Vamos continuar aqui. Agora, vamos tomar derivada segunda da nossa função. Então, vamos derivar este f' aqui, para a gente encontrar f''. Então, para encontrar f'' derivando aqui, vamos fazer a mesma regra que a gente já está usando. Vamos tombar aqui, vai ficar 2 vezes 3 vai dar 6x. Menos, agora aqui vai tombar vai ficar 4 vezes 5 vai dar 20x³. Diminuiu 1. Sobre 3! aqui. Aqui vai ficar mais, 6 vezes 7 igual a 42, vezes x⁵. Aqui diminuiu 1, sobre 5!. E aí, continuando, a gente pode fazer isto aqui daqui para frente. Continua a mesma ideia. Então, vamos chegar, finalmente, no que a gente queria, que é f''', não é? Derivada 3ª aqui da nossa função. O que vai ser essa elevada a 3ª? Então, continuando aqui. Quando a gente derivar aqui vai tombar. Então, isso aqui vai ficar 6. E aí, diminuiu aqui, foi para zero. "x" elevado a zero é 1, não preciso escrever. Menos 3 vai tombar, vai ficar 60x sobre 3! Mais, aqui 42 vezes 5 isso vai dar 210. 210x⁴. Aqui a gente esqueceu x². Eu esqueci que aqui era 3, diminuiu 1, fica 2. Então, aqui, 210x⁴ / 5! Menos, mais, e assim por diante. Bom, agora a gente já tem condições de fazer o que a gente queria, que é avaliar quanto que vai dar a derivada terceira, dessa função aqui, quando "x = 0". Então, vamos trocar aqui o "x" por zero, Aqui vai ficar assim: f'''(0), e isso vai dar, bom, repare que todas as expressões daqui para frente, daqui para frente aqui aparece "x", aqui aparece "x" e todas as expressões daqui para frente vão ter "x". Mas, tudo isso aqui, agora, quando ele vai colocar o "x" valendo zero, isso aqui vai para zero, isso aqui vai para zero. Então, todos os termos aqui vão zerar e vai sobrar só este primeiro aqui. Então, eu posso dizer que a minha derivada terceira da função avaliada em "x = 0", vai dar 6. Está aí o nosso resultado. Agora, outro modo que a gente tem de fazer isso aqui. A gente vai pegar aqui essa notação com somatório mesmo. A gente vai derivar aqui a partir desta notação do somatório. Vamos lá! Vamos fazer f'(x). Vamos colocar aqui nesta linha para ficar no mesmo rumo. Então, é f'(x) vai ser igual ao somatório aqui. Somatório para "n" igual a zero até infinito. Então, a gente vai fazer a derivada em relação a "x". Então, -1 elevado a "n" sobre (2n + 1!). Isso aqui é uma constante, vai ficar -1 elevado a "n" sobre (2n + 1!). Como é uma constante, vai ficar aqui. Agora, a gente vai derivar em relação a "x", "x" elevado a 2n + 3. E aqui, você já sabe, a gente tem um expoente. O que vai acontecer? O expoente vai tombar, a gente vai diminuir 1 aqui. Então, vai ficar 2n + 3. Aqui caiu, não é? A gente vai multiplicar isso por 2n +3 e vai multiplicar aqui por "x" elevado a 2n + 2. Diminuiu 1 aqui no nosso expoente. Então, essa é a derivada primeira da nossa função. Para achar a derivada segunda, nós vamos derivar f'(x). Vamos derivar aqui, vai ficar o seguinte. Derivando aqui em relação a "x", nós vamos ter somatório pra "n" igual a zero até o infinito. Então, de novo, isso aqui passa a ser uma constante, não depende de "x". Então, vai ficar -1 elevado a "n" vezes 2n + 3. A gente vai ter aqui dividido por 2n + 1!. E aí, a gente vai fazer de novo a regra do tombo. Vai cair aqui o 2n + 2. Então, vamos multiplicar por 2n + 2. E vai multiplicar aqui por "x" elevado, vai tirar 1 aqui, vai ficar 2n + 1. Então, essa é a nossa derivada segunda. Bom, para fazer a nossa derivada terceira, vamos lá, derivada terceira, a gente vai derivar aqui em relação à derivada de f''. Então, isso aqui vai ficar somatório para "n = 0", até infinito. Isso aqui tudo é uma constante. Então, vai ficar -1 elevado a "n" vezes 2n + 3 vezes 2n + 2 / 2n + 1! Isso tudo vezes, aí, agora vai cair, vamos fazer o tombo aqui. vai cair, 2n + 1 vezes "x" elevado a 2n. Porque aqui tirou 1, não é? 2n + 1, tirou 1, ficou "x" elevado a 2 elevado a "n". Então, essa aqui é a derivada terceira da nossa função. Agora, a gente pode ir lá e tentar avaliar a derivada 3ª em "x = 0". Avaliando aqui é derivada terceira em "x = 0", vai ficar f'''(0). Isso aqui vamos trocar, vai ficar somatório pra "n = 0" até infinito, de -1 elevado "n", vezes, aqui, vai ficar 2n + 3 vezes 2n + 2, vezes 2n + 1. Isso tudo aqui dividido por 2n + 1!. Ainda tem "x", agora este "x" a gente está trocando por zero, então isso aqui vai ficar zero elevado a 2n. E aí, você pode olhar e falar assim: ah, se a gente está colocando zero aqui, zero elevado a qualquer número que eu colocar aqui vai dar zero. Então, isso aqui vai dar zero. Bom, realmente, este raciocínio vale para quando a gente pegar o "n" valendo 1 para cima. De 1 até infinito, isso que eu acabei de falar realmente vai acontecer mesmo. Se a gente colocar aqui zero elevado a qualquer um destes números que eu falei, de 1 até o infinito. Isso aqui vai ficar zero, isso aqui vai sumir. Mas quando a gente colocar "n = 0", a gente vai ter aqui zero elevado a zero. Embora este não seja um consenso geral, a gente ainda tem uma vertente que diz que zero elevado a zero é igual a 1. E uma outra vertente, que zero elevado a zero dá uma indeterminação Se a gente admitir que zero elevado a zero dá 1, a gente pode vir e tentar encontrar o que vai sobrar aqui só para este termo, porque todos os outros a gente já viu que vai dar zero. Então, se a gente fizer aqui f''' aplicado em zero, avaliado em zero, vai ficar, então, pegando "n" igual a zero, de "n = 1", até infinito, não adianta, vai dar zero. A gente não precisa fazer. Então, vai ficar para "n = 0". Isso aqui vai ficar -1 elevado a zero, vezes, aqui vai ficar a zero, então vai dar 3. Aqui também dá zero, vai dar 2. Aqui vai dar zero, então vai dar 1. Então, 3 vezes 2 vezes 1, dividido por 2 vezes zero dá zero, mais 1 dá 1!/ 1! vezes, aqui zero elevado a 2 vezes zero, que dá zero. Então, zero elevado a zero. Se a gente considerar então que isso aqui, vamos considerar, então, que isso aqui é igual a 1. Então, isso aqui vai ficar -1 elevado a zero, número par aqui no expoente. Isso vai dar positivo. 3 vezes 2 vezes 1 é 6. 6 / 1! que é 1. 6 / 1 = 6, e 6 vezes 1 é 6. Então, a gente chega no mesmo resultado que a gente tinha feito da primeira maneira. Então, independentemente do modo que a gente resolva fazer isso, a gente vai chegar em resultados iguais. Na primeira maneira que a gente resolveu aqui, eu diria que é um pouco mais intuitiva. Você provavelmente já viu algo deste tipo aqui. Mas é interessante observar que se a gente fizer aqui deste segundo modo, se a gente tomar as derivadas aqui a partir de uma expressão mais geral, usando a notação de somatório. A gente vai criando aqui exatamente a mesma coisa dos dois lados. Então, se eu expandir essa derivada primeira aqui, nessa forma, eu vou ter exatamente isso aqui que a gente fez do lado de cá. E, assim por diante, com todas as derivadas aqui. E em Matemática é comum que a gente tenha, às vezes, que lidar com expressões mais gerais. Então, essa técnica aqui pode nos ajudar bastante.