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Como encontrar funções a partir de séries de potência por integração

Quando uma série de potências S₁ é uma primitiva de uma série geométrica S₂, nós podemos encontrar a função representada por S₁, integrando a expressão para S₂.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Sabemos que para "x" pertencente ao intervalo aberto (-1/2, 1/2), -2 sobre 1 - 2x é igual a esta série. Usando este fato, encontre a função que corresponde à seguinte série. Como de costume, dê um pause no vídeo e veja se você consegue resolver. Bom, a primeira coisa que você pode se questionar é: por que esta expressão aqui é igual a esta série? Olhando melhor para esta série, você pode reconhecer que é uma série geométrica. Aqui, nós temos, o primeiro termo é -2, aí a razão, que é aquela constante que a gente vai usar para encontrar sempre o próximo termo, é 2x. Então se eu sair multiplicando um termo por 2x, eu encontro o termo da frente. A gente sabe que a soma de uma série geométrica como esta é dada por: o primeiro termo menos 2 sobre 1 menos a razão, então, 2x. E aí você vê que este resultado aqui é exatamente o valor desta expressão, então, esta igualdade aqui realmente vale. E a gente tem que o intervalo que foi dado aqui é o intervalo de convergência, são os valores para os quais esta série converge. Agora que você já está convencido disso aqui, vamos tentar de fato atacar a nossa pergunta. Então, o que foi perguntado aqui: qual função corresponde a esta série aqui? Bom, a primeira coisa que pode vir à sua mente é: "como é que a gente vai relacionar esta série com esta série que foi dada aqui?" Repare aqui, você tem o primeiro termo dessa, é -2, aqui é -2x. Aqui você tem -4x, aqui é -2x². Aqui você tem -8x² e aqui você tem -8/3 de x³. E aí já pode pintar para você o seguinte, se você reparar aqui, se a gente derivar esta série aqui de baixo, você vai obter exatamente esta série aqui. Então vai lá, deriva aqui, -2x em relação a "x", vai dar -2. Deriva -2x² em relação a "x", vai dar -4x. E isso vai dar certo para qualquer termo que você tentar daqui para frente. Então, se a gente fizer derivada desta, a gente obtém esta série. Bom, obviamente, se eu sei que a derivada desta série aqui vai dar esta, quando eu fizer a integral aqui desta série, que é o oposto da derivada, é o inverso da derivada, é a antiderivada, quando a gente fizer a integral disso aqui, vai dar a série de baixo. Portanto, o que eu vou tentar fazer aqui, vamos chamar esta série de g(x). Então se isso aqui é g(x), vamos tentar fazer aqui a integral indefinida, e aqui vai ser igual à integral indefinida. Então eu quando eu fizer a integral desse lado aqui, vai ficar integral de -2dx sobre 1 - 2x, isso vai ser igual à integral desta série aqui que a gente sabe, que já que a integral é a antiderivada, a integral desta série vai dar essa, porque quando eu derivo esta série aqui, dá a de cima, então isto aqui vai ser igual a g(x). O que a gente tem que fazer aqui é calcular esta integral indefinida aqui. Bom, olhando para esta integral indefinida, se você pegar essa parte de baixo aqui, dê uma olhada, essa parte de baixo, se a gente derivar esta parte de baixo, vai dar exatamente o que está em cima. Então a gente pode usar a substituição aqui que vai funcionar. Digamos que a gente tenha "u = 1 - 2x", certo? Então, quando a gente fizer "du", a gente derivar isso aqui em relação a "x", "du" vai ser a derivada, o que é "u"? 1 - 2x, a derivada vai dar -2. Então, isso aqui vai dar -2 dx. E aí gente pode reescrever isso aqui então. Aqui apareceu, isso aqui é "du" e isso aqui é "u". A gente pode escrever assim: a integral de "du", em cima, sobre "u" é igual a g(x), certo? Bom, mas integral de "du" sobre "u" a gente sabe o que é. Isso aqui é "ln" do módulo de "u", como é uma integral indefinida, isto aqui é mais uma constantezinha aqui, é igual a g(x). Certo? Então, a gente estava querendo encontrar nossa série aqui, a função que representa esta série aqui, e aqui, a nossa variável que foi dada é ''x". A gente fez uma substituição usando "u", mas o que a gente quer mesmo é "x''. Então agora eu vou fazer a volta né, vamos trocar aqui este "u" por, o que "u"? 1 - 2x. Então vai lá. Isso vai ficar "ln" do módulo de "u", que é 1 - 2x mais uma constante "c", isso é igual a g(x), certo? Bom, mas aqui agora, eu quero encontrar quem é essa nossa constantezinha aqui, eu não quero deixar "c", né, deixar aqui "c" indefinido. Para fazer isso, como isso é uma constante, qualquer valor de "x" que eu substituir aqui tem que dar o mesmo valor, já que é uma constante, independe de "x". Vamos escolher um valor de "x" que seja fácil para a gente, seja conveniente. Vou escolher "x = 0". Então, quando eu escolher "x = 0", aqui, como tem 2 vezes "x", vai ficar 2 vezes zero, vai sumir. Então isso aqui vai ficar "ln" do módulo de 1, né, esta parte aqui some, mais a nossa constante, isso tem que dar g(0), que a gente está trocando "x" por zero. E aí vai ficar a pergunta: o que é g(0), né? Vamos vir aqui, g(0) é a gente vir aqui e trocar o "x" por zero, então aqui, todos esses termos aparecem "x", então todos esses termos vão aparecer zero. Portanto, isso aqui vai dar zero. Então g(0) é zero. Vamos fazer aqui então. g(0) a gente sabe que é zero, "ln" do módulo de 1 a gente sabe que também é zero, então, isso aqui vai ficar a zero, mais o "c", isso vai dar zero. Portanto, a gente tem aqui que o "c" é zero. Então esta constantezinha aqui é zero, isso aqui não aparece aqui para gente, tá? Então não vai mudar nada. A função que a gente está procurando aqui vai ser dada apenas por esse pedaço aqui, que é "ln" do módulo de 1 - 2x. Então, a nossa g(x) aqui vai ser igual ao "ln" do módulo de 1 - 2x. E aí, observe que neste intervalo aqui que a gente está trabalhando, 1 - 2x é sempre positivo, portanto, se você nem colocasse um módulo aqui também iria dar certo, não teria problema. Bom, acho que a sacada aqui era você perceber que esta série que foi dada aqui em cima é a derivada dessa série que foi dada aqui embaixo, que é a série que você quer encontrar uma função para ela. E, como a gente sabia que esta série aqui de cima era igual a essa expressão, bastou a gente tomar aqui a integral indefinida dos dois lados para a gente encontrar a função que estava procurando para a série de baixo.