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Como encontrar funções a partir de séries de potência por integração

Transcrição de vídeo

sabemos que para x pertencente ao intervalo aberto - meio e meio - 2 sobre um menos 2 x é igual a essa série usando este fato encontra a função que corresponde a seguinte série como de costume de um pause no vídeo veja se você consegue resolver bom a primeira coisa que você pode questionar por que essa expressão aqui é igual a essa série olhando melhor para essa série você pode reconhecer que é uma série geométrica aqui nós temos o primeiro termo nossa - dois aí a razão que aquela constante que a gente vai usar para encontrar sempre o próximo tema é 2 x 1 então se eu sair multiplicando um termo por 2x eu encontro o tema da frente a gente sabe que a soma de uma série geométrica como é sedada porque o primeiro termo - 2 sobre um - a razão então 2x e aí você vê que esse resultado aqui exatamente o valor dessa expressão então essa igualdade aqui realmente ela vale e aí a gente tem aqui o intervalo que foi dada aqui o intervalo de convergência são os valores para os quais essa série que converge e agora que já está convencido aqui vamos tentar de fato atacar a nossa pergunta é né então que foi perguntado aqui a qual função que corresponde a essas séries em aqui a primeira coisa que pode vir a sua mente é como é que a gente vai relacionar essa série com essa série que foi dada aqui é para aqui você tem o primeiro termo dessa menos dois aqui é menos 2 x 1 aqui você tem menos 4 x aqui é menos 2 x quadrado o que você tem menos 8 x quadrado é que você tem menos oito texto de x ao cubo e já pode pintar pra você o seguinte se você reparar que se a gente derivar essa série aqui de baixo você vai obter exatamente essa série aqui então vai lá deriva que menos 2 x em relação à x vai dar menos dois deles - 2 x quadrado em relação à x vai dar - 4x e isso vai dar certo pra qualquer termo que 70 daqui pra frente então se a gente fizer derivada dessa gente obtém essa série obviamente eu sei que é derivada dessa série que vai dar essa quando eu fizer integral aqui dessa série que é o oposto da privada é o inverso da derivada é a anti privada a gente fizer a integrar o destaque vai dá a série de baixo portanto que eu vou tentar fazer aqui vamos chamar essa séria que dgd x então se isso aqui gtx vamos tentar fazer aqui a integral indefinida aqui e aqui vai ser igual a integral indefinida aqui então quando eu fizer a integral desse lado aqui vai ficar integral de -2 2 x 1 sobre um menos 2 x 1 isso vai ser igual a integral dessa série que a gente sabe que já que é integrante derivada a integral dessa série vai dar a essa porque quando eu digo essa série aqui de cima então isso aki vai ser igual a gtx então a gente tem que fazer aqui é calcular essa integral indefinida a quina bom olhando para as integrar definido aqui se você pegar essa parte de baixo aqui ó dá uma olhada nessa parte de baixo a gente devassa parte de baixo mas é exatamente está em cima da gente pode usar substituição que vai funcionar digamos que a gente tenha o igual a 1 - 2 x certo então quando a gente fizer eo agente deriva' isso aqui em relação à x de uva e será derivada que é um 1 - 2 x a derivada menos dois então isso que vai dar menos dois peixes a gente pode escrever isso aqui então ó aqui apareceu isso aqui é de u isso aqui é o agente pode escrever sim a integral de deu em cima sobre o que é igual a gentes certo bom mas integral de deus sobre o a gente sabe que é isso aqui é eliene do módulo de u como integral indefinida isso aqui é mais uma constantes em aqui é igual a gtx certo então a gente estava querendo reencontrar nossa série que a função que representa essa série aqui e aqui a nossa variável foi dada xx a gente fez uma substituição usando mas o que a gente quer mesmo é xis aqui agora vou fazer a volta não vão trocar que esse upr que é o 1 - 2 x 1 vai lá isso vai ficar lm do módulo de uc 1 - 2 x mais uma constantes e isso é igual a gtx certo mas aqui agora eu quero encontrar quem é essa nossa constante sac não quero deixar a cena é deixar que se indefinido para fazer isso como se uma constante qualquer que o valor de x que eu substituir aqui tem que dar o mesmo valor já que é uma constante independe de x vamos escolher um valor de x ac que seja fácil para a gente se dê conveniente os coletes igual a zero quando os coletes igual a zero aqui como tem 2 vezes x vai ficar 20 vai sumir isso aqui vai ficar eliene do módulo de um nessa parte aqui some mas a nossa constante isso tem que dar gd 0 quem está trocando x 0 e vai ficar pergunta que quer dizer né vamos ver aqui ó de zero é a gente vir aqui e trocar o x10 então aqui todos esses termos eles aparecem x então todos esses temas não aprecia 0 portanto isso aqui vai dar zero a 100 vamos fazer aqui então já dissera gente sabe que é zero ln do módulo de um agente sabe que também é zero então isso aqui vai ficar a zero mas os e isso vai dar zero portanto a gente tem aqui que você é vero nossa constante aqui é zero isso aqui não tem não aparece aqui pra gente tá então não vai mudar nada a função quem está procurando aqui ela vai ser dado apenas por esse pedaço aqui que ln do módulo de 1 - 2 x 1 então a nossa gbx aqui ela vai ser igual eliene de modo de 1 - 2 x 1 quem observa que nesse intervalo que a gente está trabalhando 1 - 2 x é sempre positivo portanto se você nem colocar um módulo aqui também é das 7 não teria problema bom acho que a sacada que era você perceber que essa série que foi dada aqui em cima é a derivada dessa série que foi dada aqui em baixo que é a série que você quer encontrar uma função para ela e como a gente sabia que a essa série que de cima ela é igual a essa expressão bastou a gente tomar aqui aí a integral indefinida dos dois lados para a gente encontrar série que a função que estava procurando para a série de baixo
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