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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 10
Lição 15: Representando funções como séries de potências- Cálculo da integral de uma série de potências
- Cálculo da derivada de uma série de potências
- Calcule a integral e a derivada de séries de potências
- Como encontrar funções a partir de séries de potência por integração
- Integrais e derivadas de funçōes com séries de potências conhecidas
- Intervalo de convergência para derivada e integral
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Como encontrar funções a partir de séries de potência por integração
Quando uma série de potências S₁ é uma primitiva de uma série geométrica S₂, nós podemos encontrar a função representada por S₁, integrando a expressão para S₂.
Quer participar da conversa?
- gostaria de saber a demonstração de logx/x-1 em forma de série(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Sabemos que para "x"
pertencente ao intervalo aberto (-1/2, 1/2), -2 sobre 1 - 2x é igual a esta série. Usando este fato, encontre a função
que corresponde à seguinte série. Como de costume, dê um pause no vídeo e veja se você consegue resolver. Bom, a primeira coisa que
você pode se questionar é: por que esta expressão
aqui é igual a esta série? Olhando melhor para esta série, você pode reconhecer
que é uma série geométrica. Aqui, nós temos, o primeiro termo é -2, aí a razão, que é aquela constante que a gente vai usar para encontrar
sempre o próximo termo, é 2x. Então se eu sair multiplicando
um termo por 2x, eu encontro o termo da frente. A gente sabe que a soma de uma
série geométrica como esta é dada por: o primeiro termo menos 2
sobre 1 menos a razão, então, 2x. E aí você vê que este resultado aqui é exatamente o valor desta expressão, então, esta igualdade aqui
realmente vale. E a gente tem que o intervalo
que foi dado aqui é o intervalo de convergência, são os valores para os quais
esta série converge. Agora que você já está
convencido disso aqui, vamos tentar de fato atacar
a nossa pergunta. Então, o que foi perguntado aqui: qual função corresponde
a esta série aqui? Bom, a primeira coisa que
pode vir à sua mente é: "como é que a gente vai
relacionar esta série com esta série que foi dada aqui?" Repare aqui, você tem o primeiro
termo dessa, é -2, aqui é -2x. Aqui você tem -4x, aqui é -2x². Aqui você tem -8x²
e aqui você tem -8/3 de x³. E aí já pode pintar para você o seguinte, se você reparar aqui, se a gente derivar
esta série aqui de baixo, você vai obter exatamente
esta série aqui. Então vai lá, deriva aqui,
-2x em relação a "x", vai dar -2. Deriva -2x² em relação a "x",
vai dar -4x. E isso vai dar certo para qualquer termo
que você tentar daqui para frente. Então, se a gente fizer derivada desta,
a gente obtém esta série. Bom, obviamente, se eu sei que a derivada
desta série aqui vai dar esta, quando eu fizer a integral
aqui desta série, que é o oposto da derivada, é o inverso da derivada, é a antiderivada, quando a gente fizer a integral disso
aqui, vai dar a série de baixo. Portanto, o que eu vou tentar fazer aqui, vamos chamar esta série de g(x). Então se isso aqui é g(x), vamos tentar fazer aqui
a integral indefinida, e aqui vai ser igual
à integral indefinida. Então eu quando eu fizer
a integral desse lado aqui, vai ficar integral de -2dx sobre 1 - 2x, isso vai ser igual à integral
desta série aqui que a gente sabe, que já que
a integral é a antiderivada, a integral desta série vai dar essa, porque quando eu derivo esta série aqui, dá a de cima, então isto aqui
vai ser igual a g(x). O que a gente tem que fazer aqui é calcular esta integral indefinida aqui. Bom, olhando para esta
integral indefinida, se você pegar essa parte de baixo aqui, dê uma olhada, essa parte de baixo, se a gente derivar esta
parte de baixo, vai dar exatamente
o que está em cima. Então a gente pode usar a substituição
aqui que vai funcionar. Digamos que a gente tenha "u = 1 - 2x", certo? Então, quando a gente fizer "du", a gente derivar isso aqui
em relação a "x", "du" vai ser a derivada, o que é "u"?
1 - 2x, a derivada vai dar -2. Então, isso aqui vai dar -2 dx. E aí gente pode reescrever
isso aqui então. Aqui apareceu, isso aqui é "du" e isso aqui é "u". A gente pode escrever assim: a integral de "du", em cima, sobre "u"
é igual a g(x), certo? Bom, mas integral de "du" sobre "u"
a gente sabe o que é. Isso aqui é "ln" do módulo de "u", como é uma integral indefinida, isto aqui é mais uma constantezinha
aqui, é igual a g(x). Certo? Então, a gente estava querendo
encontrar nossa série aqui, a função que representa esta série aqui, e aqui, a nossa variável
que foi dada é ''x". A gente fez uma substituição usando "u", mas o que a gente quer mesmo é "x''. Então agora eu vou fazer a volta né, vamos trocar aqui este "u" por, o que "u"?
1 - 2x. Então vai lá. Isso vai ficar "ln" do módulo de "u",
que é 1 - 2x mais uma constante "c", isso é igual a g(x), certo? Bom, mas aqui agora, eu quero encontrar quem é essa nossa constantezinha aqui,
eu não quero deixar "c", né, deixar aqui "c" indefinido. Para fazer isso, como isso
é uma constante, qualquer valor de "x"
que eu substituir aqui tem que dar o mesmo valor, já que é uma constante,
independe de "x". Vamos escolher um valor de "x"
que seja fácil para a gente, seja conveniente. Vou escolher "x = 0". Então, quando eu escolher "x = 0", aqui, como tem 2 vezes "x", vai ficar 2 vezes zero, vai sumir. Então isso aqui vai ficar "ln" do módulo de 1, né, esta parte aqui some, mais a nossa constante, isso tem que dar g(0), que a gente está trocando
"x" por zero. E aí vai ficar a pergunta:
o que é g(0), né? Vamos vir aqui, g(0) é a gente vir aqui
e trocar o "x" por zero, então aqui, todos esses
termos aparecem "x", então todos esses termos
vão aparecer zero. Portanto, isso aqui vai dar zero. Então g(0) é zero. Vamos fazer aqui então. g(0) a gente sabe que é zero, "ln" do módulo de 1 a gente
sabe que também é zero, então, isso aqui vai ficar a zero,
mais o "c", isso vai dar zero. Portanto, a gente tem aqui
que o "c" é zero. Então esta constantezinha aqui é zero, isso aqui não aparece
aqui para gente, tá? Então não vai mudar nada. A função que a gente está procurando aqui vai ser dada apenas por esse pedaço aqui, que é "ln" do módulo de 1 - 2x. Então, a nossa g(x) aqui
vai ser igual ao "ln" do módulo de 1 - 2x. E aí, observe que neste intervalo aqui
que a gente está trabalhando, 1 - 2x é sempre positivo, portanto, se você nem colocasse
um módulo aqui também iria dar certo,
não teria problema. Bom, acho que a sacada aqui
era você perceber que esta série que foi dada aqui em cima é a derivada dessa série
que foi dada aqui embaixo, que é a série que você quer
encontrar uma função para ela. E, como a gente sabia que
esta série aqui de cima era igual a essa expressão, bastou a gente tomar aqui
a integral indefinida dos dois lados para a gente encontrar a função que estava procurando
para a série de baixo.