Cálculo da integral de uma série de potências

RKA4JL - Foi dada para a gente uma função f(x) que é igual essa série infinita, dada pelo somatório para n igual a 1 até infinito, de (n mais 1) sobre 4ⁿ⁺¹ vezes xⁿ. O que a gente quer descobrir aqui, o que a gente quer saber, é quanto vale a integral de zero até 1, a integral definida de f(x). Como de costume, dê um pause no vídeo, veja se você consegue trabalhar sozinho e depois você volta aqui para acompanhar comigo. Muito bem. A primeira coisa que vou fazer é reescrever isso aqui. Então vamos colocar aqui a integral de zero até 1 (não ficou bacana isso aqui) vou colocar aqui a integral de zero até 1 e aqui nós vamos reescrever. f(x) vou trocar por essa expressão que foi dada, pela série que foi daqui e que representa f(x). Então aqui nós vamos colocar o somatório para n igual a 1 até o infinito de ((n mais 1) sobre 4ⁿ⁺¹) vezes xⁿ. E com isso nós vamos fazer a integral dessa série aqui. Mas isso aqui, esse resultado que eu vou usar agora, pode até ser novo para alguns de vocês, mas é um resultado muito útil e vai ajudar bastante. O que a gente tem, na verdade, é uma soma de vários termos, um monte de termos que estão aparecendo aqui. Nesse caso, isso é uma série infinita, então tem infinitos termos. O que a gente vai usar aqui é o seguinte: se eu tiver, por exemplo, que calcular a integral de zero até 1 (na verdade isso aqui pode ser até com a integral indefinida), mas se eu tiver de calcular essa integral aqui de um termo, digamos, g(x) (podem ser funções aqui para representar esses termos) mais h(x) mais... Então a gente está somando vários termos aqui para calcular a integral da soma desses termos. O que a gente sabe é que, na prática, tanto faz fazer a integral da soma ou a soma das integrais, então posso fazer a integral de cada termo aqui e depois somar. Então isso aqui é a mesma coisa que se eu fizer a integral de zero até 1 de g(x) dx mais a integral de zero até 1 de h(x) dx e mais a integral de cada termo que eu tiver dentro dessa soma. Então a integral da soma é igual à soma das integrais. Baseado nisso, vou colocar aqui que isso vai ser igual a... O que nós vamos fazer? Nós vamos fazer a soma. Então vou colocar o somatório para n igual a 1 até infinito das integrais. Então vamos colocar a integral aqui dentro. A integral de zero até 1 do que sobrou lá, que vai ser, que nosso termo vai ser ((n mais 1) sobre 4ⁿ⁺¹) vezes xⁿ. Então é isso que nós vamos ter que calcular. Agora o que nós vamos ter que fazer aqui é nos depararmos com essa integral. A gente vai ter que resolver isso aqui, essa integral definida. Então, antes de tudo, repare que isso aqui é uma constante em relação a x. Então aqui a gente está fazendo uma constante vezes x elevado a um expoente. A gente já sabe como fazer a derivada, sabe usar a regra do tombo aqui na derivada, onde a gente vai derrubar o expoente e diminuir 1. Agora, se a gente quer fazer a integral, a integral é o inverso da derivada. A integral aqui é o processo reverso. A gente vai voltar aqui. Então ao invés de derrubar um expoente, nós vamos dividir por esse expoente e aqui nós vamos ter que, ao invés de tirar 1, vamos acrescentar 1. Então isso aqui eu posso escrever assim. Posso escrever como a soma, então somatória, para n igual a 1 até infinito e vai ficar assim. Vai ficar esse carinha que tava aqui, o nosso termo, 1(n mais 1) sobre 4ⁿ⁺¹, que é a nossa constante, isso não vai alterar. E o que vamos fazer? Vamos aumentar 1 no expoente, então vai ficar vezes xⁿ⁺¹ e nós vamos dividir também por esse (n mais 1), por esse expoente. Então fizemos o inverso da derivada. Como isso é uma integral definida, nós temos que aplicar esse resultado aqui agora, o resultado disso aqui que a gente está fazendo. A gente vai ter que aplicar aqui em zero e 1, que são os extremos que foram dados para a gente fazer a nossa integral definida. Agora a gente já pode vir aqui e avaliar essa expressão nos extremos do nosso intervalo. Então como isso é uma integral definida, nós vamos avaliar essa expressão trocando x por 1 menos e avaliando essa expressão aqui em x igual a zero. Isso vai ficar igual... Simplificando antes, (n mais 1) a gente pode simplificar, pode reduzir, então isso vai dar o quê? Vai dar o somatório para n igual a 1 até infinito de... Vamos voltar aqui e olhar. Vamos primeiro trocar o x por 1, então isso aqui vai ficar 1ⁿ⁺¹ sobre 4ⁿ⁺¹. Agora a gente tem que colocar o "menos". Já avaliamos em 1, vamos avaliar em zero agora. -0ⁿ⁺¹ sobre (n mais 1) mas isso aqui a gente já sabe que vai dar zero. Não importa o valor de n que se usar, isso aqui vai ser zero. Essa parte não tem nada, só vai sobrar isto aqui. Se eu reescrever isso aqui, você já pode perceber que a gente já conhece isso. Vamos reescrever isso aqui. Vou fazer aqui. Então vou pegar aqui vai ser o somatório para n igual a 1 até infinito de... Vamos olhar aqui e fazer o seguinte: 1 sobre 4, que é ¼, ¼ⁿ⁺¹. Isso aqui você conhece. Isso é uma série geométrica. O legal é que a série geométrica pode convergir. A gente já percebeu que a série, mesmo sendo infinita, quando é série, ela tem condições de convergir. Se a gente sabe que se o módulo da razão da nossa série for menor que 1, essa série converge para um valor finito. Vamos ver se aqui é o caso. Vamos lá, vamos procurar. Qual seria o nosso primeiro termo dessa série geométrica? O primeiro termo vai ser quando a gente colocar n igual a 1, vai ficar (¼)¹⁺¹, que vai ser (¼)². Então nosso primeiro termo é 1/16. Agora vamos procurar também a nossa razão. O que seria a razão dessa série geométrica? Então a razão é aquele termo, aquela constante que a gente vai ficar sempre multiplicando para encontrar os termos da frente. Aqui a gente vai sempre multiplicar por ¼. Então a razão aqui é ¼, ou seja, a razão, o módulo dela é menor que 1 e portanto essa série que a gente está trabalhando, essa série geométrica aqui, ela converge, sim, para um número finito. Vamos procurar que número é esse. Eu posso vir aqui escrever isso. O que a gente quer é essa soma, então vamos escrever que o somatório para n igual a 1 até infinito desse termo, ¼ⁿ⁺¹. Essa série a gente sabe que converge, já vimos que a razão dela, o módulo da razão é menor que 1, portanto isso vai convergir. Isso vai convergir para quanto? Vai ficar o primeiro termo em cima, (1/16), sobre 1 menos a razão, que é ¼. Então se a gente fizer 1 menos ¼, isso vai dar ¾. Portanto aqui vai ser 1/16 dividido por ¾, que é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso, que é 4/3. Logo, simplificando o 4 e o 16, aqui fica 1 e aqui, 4. Isso fica 1/12. Então 1/12 é a nossa resposta. Repare que no começo isso até poderia parecer um pouco complicado, mas nós usamos o fato de que se a gente está fazendo a soma, a integral de uma soma, inclusive uma soma infinita, a gente pode usar o fato de que é a mesma coisa que fazer a soma dessas infinitas integrais. Então a gente saiu e calculou as integrais desses termos, o que foi simples porque a gente já conhece a regra de como derivar uma coisa desse tipo aqui e já sabe como fazer a antiderivada, a integral. E a gente percebeu que caiu em uma série geométrica, e para essa série geométrica a gente sabia calcular a soma. Aqui tem um pedaço que não ficou certo. Quando a gente trocou x por zero, na verdade aqui deveria ficar 4ⁿ⁺¹ aqui embaixo, não só n mais 1. Isso não vai mudar muita coisa aqui porque essa parte continua indo para zero, então daqui para a frente continua sendo o mesmo resultado. Então a integral que a gente queria calcular, essa integral definida, ela é igual a 1/12.