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Transcrição de vídeo

quando a gente lida com um série de potência a gente pode querer tirar derivada dela o tirar integral em geral a gente pode fazer isso tendo por termo que eu quero dizer com isso quer dizer que a derivada de fdx é fininha dx é vai ser derivada de cada um desses termos então isso aki vai ser igual a somatória iene igual a 1 até o infinito e vamos ver conversa privada disso x elevado a eni vai ficar n 10 x elevado aí - um sobre n esses dois anos vão cancelar a gente vai ficar na verdade então com x elevado a eni - 1 então essa foi a derivada em relação à x de forma similar a gente pode integrar essa função então a gente pode avaliar a integral df the xx isso vai ser igual a uma constante mas e aí a gente integra isso aqui também por termo mas a somatória de é igual a 1 até o infinito e como é que fica isso a gente aumenta um valor aqui que vai ficar x elevado a eni mais um dividir por isso mesmo animais 11 vezes e nike essa é uma técnica muito comum ao se lidar com um sério de potência ea gente vai falar um pouco mais detalhadamente disso porque você só pode fazer isso tá valores de x que estejam dentro do intervalo de convergência da série de potência e como a gente vai ver o intervalo de convergência para essas diferentes séries vai ser um pouco diferente os intervalos são são bem parecidos até mas a gente vai ver que vai ter uma diferença nas extremidades deles então agora eu te encoraja a causar esse vídeo e veja se você consegue descobrir qual é o intervalo de convergência para cada uma dessas séries então vamos começar pela nossa série original em tentar descobrir o intervalo de convergência dela pra isso a gente vai usar o teste dê razão então limite quando n tem do infinito do valor absoluto de x elevado e mais um sobre e mais um sobre x elevada do iene sobre n você vai ser igual ao limite quando ele tem de infinito a gente pode agora a simplificar esse é mais um com esses levado n a gente vai ficar com um valor absoluto de x dizerem sobre animais 1 isso vai ser igual ao limite quando n tem o infinito agora a gente pode dividir o numerador e o denominador por n então vai ficar xis aqui embaixo vai ficar 1 + 1 sobre ele quanto a isso então é quando como ele está atendendo ao infinito isso aqui é próxima de zero então nosso limite no final das contas vai ser o valor absoluto de x então o teste dê razão diz pra gente e essa série vai ser convergente se esse valor for menor do que 1 ela vai ser divergente esse valor for maior do que 1 e inconclusivo bom então vamos escrever isso que a gente acabou de ver essa série aqui então vai ser convergente quando o x o valor absoluto de x for menor do que 1 ela nasce divergente valores de x que são maiores do que um mas e quando o x é igual a um teste de razão diz pra gente então a gente tem que testar isso separadamente então vi que acontece praxes igual a nossa série vai ser o somatório de igual até o infinito de um elevador ele sobre n basicamente então 11 sobre n e essa aqui nada mais é do que a série harmônica ou a série p e aí já viu em outros vídeos que isso dê verde então divergente e agora a gente vai ver então praxes igual a menos o fla x go - um só aqui a série vai ser o somatório de n igual a 1 até o infinito de -1 elevado ele sobre isso aqui nada mais é do que a série harmônica alternada e pelo teste de série alternada como a gente já vinha dos vídeos a gente sabe que isso aqui converge então isso aqui é convergente então vamos escrever aqui qual vai ser o intervalo de convergência da nossa série então intervalo de convergência a gente viu aí então que x lá está entre -1 e 1 e pelos testes aqui a gente viu que praxes igual era divergente então aqui é só menor que o mesmo não pode ser menor ou igual a 1 mas pelo menos ela converge então aqui menor ou igual x e esse é nosso intervalo de convergência para a série original agora vamos pensar nessa série derivada da original qual intervalo de convergência dela vamos destrinchar essa série e ver o que a gente acha então igual a 1 x elevado - 1 x levado a 0 mas o 2 x elevado a 1 mas o elevador 2 e assim por diante e aí você pode perceber que isso aqui nada mais é do que uma série de métrica é uma série geométrica cuja razão é x então r bosch ea gente sabe que pra série geométricas elas são convergentes quando o valor absoluto da razão é menor que 1 então essa série aqui é convergente para em valor absoluto de x menor do que 1 e isso é muito parecido com o que a gente tinha visto aqui pra série original então intervalo de convergência para a série vai ser de menos 1 até 1 então é basicamente a mesma coisa aqui pra nossa série original o que muda é o comportamento nas extremidades aqui porque nesse caso o x não vai poder ser menos um pra continuar agora em coragem você a tentar achar o intervalo de convergência pra te derivada que a gente fez da série original para integral usando basicamente em razão da mesma forma que a gente fez aqui pra série original então você vai ver que o intervalo de convergência para essa série também vai de menos 1 até um só que nesse caso ela vai ser convergente praxes igual - 1 e também praxes igual então - um menor grau x menor go é como eu disse pode testar isso utilizando basicamente o mesmo a mesma técnica que a gente fez aqui pra ser original e aí vai ter uma conclusão igual a essa só que aí fazendo o teste praxes igual você vai ver que nos dois casos praxes igual a 1 e país desigual menos um ela vai ser convergente
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