Demonstração da fórmula da série geométrica infinita

Digamos que temos uma série geométrica infinita cujo primeiro termo é

a

e a razão é

r

. Se

r

está entre

- 1

1

(ou seja,

| r | < 1

), então a série converge para o seguinte valor finito:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n} a \cdot r^{i} = \frac{a}{1 - r}

O curso de cálculo avançado não exige saber a prova dessa regra, mas acreditamos que enquanto uma prova estiver acessível, sempre haverá alguma coisa para se aprender com ela.. Em geral, sempre é bom exigir algum tipo de prova ou justificativa para os teoremas que você aprende.

Primeiro, vamos obter alguma intuição sobre por que isso é verdadeiro. Isso não é uma prova formal, mas é bastante elucidativa.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Infinite geometric series formula intuitionVer transcrição do vídeo

Agora, podemos provar a fórmula mais formalmente.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Proof of infinite geometric series as a limitVer transcrição do vídeo

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