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Demonstração da fórmula da série geométrica infinita

Digamos que temos uma série geométrica infinita cujo primeiro termo é a e a razão é r. Se r está entre minus, 1 e 1 (ou seja, vertical bar, r, vertical bar, is less than, 1), então a série converge para o seguinte valor finito:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, end superscript, a, dot, r, start superscript, i, end superscript, equals, start fraction, a, divided by, 1, minus, r, end fraction
O curso de cálculo avançado não exige saber a prova dessa regra, mas acreditamos que enquanto uma prova estiver acessível, sempre haverá alguma coisa para se aprender com ela.. Em geral, sempre é bom exigir algum tipo de prova ou justificativa para os teoremas que você aprende.

Primeiro, vamos obter alguma intuição sobre por que isso é verdadeiro. Isso não é uma prova formal, mas é bastante elucidativa.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Infinite geometric series formula intuitionVer transcrição do vídeo

Agora, podemos provar a fórmula mais formalmente.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Proof of infinite geometric series as a limitVer transcrição do vídeo