Problema de séries geométricas infinitas: bola quicando

RKA4JL - Vamos supor que eu tenha uma bola e eu a deixo cair a partir de uma altura de dez metros. Vamos admitir que assim que essa bola cai, ela quica e volta a subir metade da distância que ela percorreu na queda anterior. Então, se ela caiu de uma altura de dez metros, ela bate no chão, quica e volta a subir um pouquinho, que é exatamente a metade da distância anterior, que é a metade de dez, então cinco metros. Depois ela cai novamente ao chão, volta a subir metade da altura de onde ela caiu anteriormente, que seria dois metros e meio, e assim por diante. A pergunta é: qual é a distância vertical total que essa bola vai percorrer? Organizando aqui, então, no momento que eu solto a bola, ela percorre dez metros, mais... na hora que quicar no chão, ela volta a subir cinco metros, que é a metade de dez. Só que ela desce novamente cinco metros, então ela percorre cinco metros para cima e cinco metros para baixo, de maneira que aqui eu teria, então... Quando quica no chão, ela sobe percorrendo 10 metros vezes um meio, metade de dez metros para cima, mais 10 vezes ½, que é 5, para baixo. Então, dez metros da primeira queda, metade de dez para subir, metade de dez para descer. Nesta próxima queda, nesse próximo movimento, ela vai se movimentar metade do anterior para cima e depois a mesma coisa para baixo, e assim por diante. Se ela havia se movimentado 10 vezes ½ no momento anterior, agora ela vai se movimentar 10 vezes ½, que era o anterior, vezes ½ novamente. Então, (½)², para cima, e depois 10 vezes (½)² para baixo. Isto continua infinitamente, e esta soma pode ser reorganizada. Temos aqui o 10 inicial mais... Quando temos 10 vezes ½ mais 10 vezes ½ podemos escrever como 20 vezes ½. Aqui neste outro momento temos 10 vezes (½)², mais 10 vezes (½)². É como 10x mais 10x igual a 20x. Então tenho mais 20 vezes (½)², e assim sucessivamente. Está montada aqui, sem dúvida nenhuma, algo que parece muito uma série geométrica. Entretanto, existe um número 10 aqui que está descaracterizando a série geométrica, porque eu não tenho o primeiro termo com a razão elevada a zero. Ora, para solucionar este, entre aspas, "problema", eu vou transformar este número 10 em -10 mais 20. Este 10 é -10 mais 20. E este 20 está multiplicado por ½, que é a razão que você já deve ter percebido, elevado a zero. Continuando, eu tenho ainda mais 20 vezes ½ elevado à primeira potência. Depois, mais 20 vezes (½)² mais 20 vezes ½ elevado à terceira potência, e assim sucessivamente. Isso pode ser escrito na forma de uma somatória. Vou fazer aqui ao lado do diagrama para aproveitá-lo. Somatória com K indo de zero até infinito nos termos que têm este padrão, que é o 20 multiplicado pela razão, ½, elevado ao expoente K. Isso que eu escrevi corresponde ao que temos daqui em diante. Então, para reescrever a soma toda, eu devo colocar aqui na frente -10 mais isto tudo. Vamos lembrar aqui que, na série geométrica infinita, a somatória com K de zero a infinito de “a”, que é o primeiro termo, vezes a razão elevada ao expoente K quando a razão tem módulo entre zero e um, isso resulta no primeiro termo dividido por 1 menos a razão. Voltando aqui para nossa somatória, veja que estou olhando só para a somatória por enquanto. Esta somatória é exatamente esta, mas no lugar do “a” temos 20 e no lugar do "q", que é a razão, temos ½. Então, o resultado dela é 20, que é o primeiro termo, dividido por 1 menos a razão, que é ½. Simplificando um pouquinho, nós temos 20 dividido por 1 menos ½, que é ½. Divisão de frações: 20 vezes o inverso da outra, 20 vezes 2 sobre 1. 20 vezes 2 dá 40. Então, voltando para cá, a distância total vertical percorrida que é dada por esta conta é igual a -10 mais o resultado da somatória, que é 40. E -10 mais 40 dá 30 metros, ou seja, nesta [história] de começar caindo de uma altura de dez metros, quicando e voltando a subir metade da distância da qual a bola caiu anteriormente, infinitamente, fazendo essa soma, todas essas viagens verticais da bola totalizam uma distância de 30 metros. Aí está mais uma aplicação da série geométrica infinita. Até o próximo vídeo!