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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 10
Lição 2: Trabalhando com séries geométricas- Exemplo prático: séries geométricas convergentes
- Exemplo prático: séries geométricas divergentes
- Séries geométricas infinitas
- Problema de séries geométricas infinitas: bola quicando
- Problema de séries geométricas infinitas: dízima periódica
- Demonstração da fórmula da série geométrica infinita
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Problema de séries geométricas infinitas: dízima periódica
Veja como podemos escrever uma dízima periódica como uma série geométrica infinita. Versão original criada por Sal Khan.
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- Como se diz uma dízima periódica verbalmente? Por exemplo, existe um jeito certo de dizer 0,3... ?(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Vamos estudar um pouco
as dízimas periódicas. Vamos olhar, por exemplo,
para este número, 0,4008, de modo que o 4008 após a vírgula,
à direita da vírgula, se repita infinitamente. Isso quer dizer: falar do 0,4008 4008 4008
infinitamente. A ideia é escrever esse número
como uma série geométrica infinita. Como eu posso fazer isso? Vamos analisar um pouquinho
a formação deste número decimal. Vamos analisar separadamente
cada vez que 4008 se repete, escrevendo este número
como uma soma de vários termos. Devido à regularidade que existe, vamos separar, por exemplo,
este como o primeiro termo, ou seja, eu teria 0,4008
adicionado a... Vamos pegar agora
esta segunda parte. Esta segunda parte, na verdade,
quer dizer 0,00004008. Estou falando, na verdade,
0,00004008 para falar só deste pedaço. O próximo seria, então, este aqui,
que eu vou adicionar. Seria, então, 0,0000,
referente às quatro primeiras casas, outros quatro "zeros"
na próxima, e o 4008. E assim essa soma
prossegue infinitamente. Esta é uma maneira de escrever
o mesmo número que está aqui em cima. Percebendo bem,
de um termo para o próximo eu estou deslocando os algarismos
quatro casas à direita, ou seja,
daqui para cá eu estou multiplicando este número por 10⁻⁴, ou seja, 0,0001. Daqui para cá,
estou novamente deslocando quatro casas
à direita os algarismos, então estou novamente
multiplicando por 10⁻⁴, que é 0,0001. E assim para o próximo,
e assim para o próximo, de maneira que enxergando esta soma
como uma série geométrica, a razão é o 10⁻⁴. Eu posso, então,
reescrever aqui, de maneira geral, 0,4008, primeiro aqui
multiplicado por 10⁻⁴ elevado a zero,
pois é o primeiro termo. Mais... este segundo termo
é o resultado do primeiro, que é o 0,4008, multiplicado pelo 10⁻⁴. Nós podemos colocar aqui
elevado a primeira potência. Agora, a próxima parte: mais este termo em verde,
que é o anterior, que é o 0,4008 vezes 10⁻⁴ ,
vezes 10⁻⁴ de novo. Portanto, vezes 10⁻⁴
elevado à segunda potência. E essa soma
segue esse padrão infinitamente. Resumindo, o 0,4008 com a barra é o 0,4008 etc., que é igual ao resultado
dessa soma infinita, que é igual ao resultado
desta outra soma infinita, que pode ser escrita
como uma somatória dos termos formados por 0,4008
multiplicados por 10⁻⁴ elevado a um certo expoente, que é quem vai sendo incrementado
de um termo para o outro, que eu vou chamar de K. E nesta soma, o K vai de zero,
que é o primeiro termo, até infinito,
porque esta soma é infinita. Temos aqui, então,
uma série geométrica infinita. Nosso objetivo agora é reescrever
isso como uma fração. Isso é perfeitamente possível. Eu sugiro que você pause o vídeo,
pense no que você sabe sobre a soma de uma
série geométrica infinita convergente, e tente escrever este resultado
na forma de uma fração. É hora de um lembrete: a soma
de uma série geométrica infinita convergente, ou seja, a somatória
quando K vai de zero até o infinito
de um certo termo multiplicado pela razão
elevado ao expoente K, é igual ao primeiro termo,
que indicamos por “a”, dividido por 1 menos a razão. Vamos trazer para cá, então. Neste caso,
esta somatória seria igual a... ao primeiro termo,
que é 0,4008 dividido por 1 menos a razão. A razão é o 10⁻⁴,
que está aqui. Então, 10⁻⁴ para a razão. O 10⁻⁴ é, na verdade,
1 sobre 10 mil. Isto vai ser igual a 0,4008 sobre 1 menos 1
sobre 10 mil. Esse 1 inteiro aqui, na verdade, eu posso enxergar
como 10 mil sobre 10 mil. Isso é um inteiro. -1 sobre 10 mil
resulta em 9.999 sobre 10 mil. Veja: 10 mil menos 1. 9.999. Continuando a conta. Divisão de frações:
eu mantenho a primeira e multiplico pelo inverso da segunda.
Vamos lá. Então continuando aqui, eu vou ter 0,4008 multiplicado
pelo inverso da segunda, então o 10 mil sobre 9.999. Continuando o cálculo e multiplicando o numerador por numerador,
0,4008 vezes 10 mil, basta deslocar os algarismos
quatro casas para a esquerda, que vai dar exatamente 4.008,
o que nós já tínhamos. 4.008 dividido por,
ou sobre, 9.999. Pronto. Se você observar, aquela somatória toda
foi transformada em uma fração. Essa fração pode ser simplificada
dividindo o numerador e o denominador por 3. Nós chegaríamos a
1.336 dividido por 3.333, ou seja, aquela dízima periódica
0,400840084008 é equivalente à fração
1.336 sobre 3.333. Se você dividir
1.336 por 3.333, vai ter como resultado
esta dízima periódica, que nós já tínhamos aqui no começo. Em resumo,
uma dízima periódica como esta pode ser escrita
como uma série infinita, melhor ainda,
como uma série geométrica infinita, que é esta soma
que nós temos aqui, e usando a fórmula conhecida
para uma série geométrica infinita convergente, nós chegamos à forma fracionária
daquela dízima periódica. Bem, por hora,
o trabalho é este. Estude bastante, pratique,
refaça esta ideia. Até o próximo vídeo!