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Problema de séries geométricas infinitas: dízima periódica

Transcrição de vídeo

vamos estudar um pouco as disse mas periódicas vamos olhar por exemplo para este número 0,4 008 de modo que o 4008 após a vírgula direita da vila se repete infinitamente isso quer dizer falar do 0,40 08 40 08 40 08 infinitamente a idéia é escrever esse número como uma série e geométrica infinita como é que eu posso fazer isso vamos analisar um pouquinho a formação deste número decimal vamos analisar separadamente cada vez que o 4008 se repete escrevendo este número como uma soma de vários termos devido à regularidade que existe vamos separar por exemplo este como o primeiro termo ou seja eu teria o 0,40 08 adicionado à vamos pegar agora esta segunda parte esta segunda parte na verdade quer dizer 0,0000 4008 estou falando na verdade 0,000 4008 para falar só deste pedaço o próximo seria então este aqui eu vou adicionar aqui seria então 0,0000 dessas quatro primeiras casas outros 40 c na próxima 3 4 e 140 08 e assim essa soma prossegue infinitamente é esta é uma maneira de escrever o mesmo número que está aqui acima percebendo bem de um termo para o próximo isto deslocando os algarismos quatro casas à direita ou seja daqui pra cá eu estou multiplicando este número por 10 elevado a menos quatro ou seja 0,0001 daqui pra cá estou novamente deslocando quatro casas à direita os algarismos então estou novamente multiplicando por 10 elevado a menos quatro que 0,0001 e assim para o próximo e assim para o próximo de manhã será que enxergando esta soma como uma série geométrica a razão é o 10 elevado a menos quatro eu posso então reescrever aqui de maneira geral o 0,40 08 primeiro ac x 10 elevado a -4 levava 0 é o primeiro termo mas este segundo termo resultado do primeiro que o 0,4 008 multiplicado pelo 10 elevada - 4 ea gente pode colocar aqui nós podemos colocar aqui elevado a primeira potência a próxima parte mas este termo em verde é o anterior que o 0,40 08 vezes 10 a menos quatro vezes 10 - quatro de novo portanto vezes 10 a menos quatro elevado a segunda potência e essa soma segue esse padrão infinitamente resumindo o 0,40 08 com a barra é 10 4 008 etcétera que é igual ao resultado dessa soma infinita que é igual ao resultado desta sua infinita que pode ser descrita como uma somatória dos termos formados por 0,40 08 multiplicados por 10 elevado a -4 elevada um certo expoente que é quem vai sendo incrementado de um tempo para o outro que eu vou chamar de cá e nesta soma o kaká vai de zero que é o primeiro termo até infinito porquê esta sua mãe é infinita temos aqui então uma série geométrica infinita nosso objetivo agora é reescrever isso como uma fração isso é perfeitamente possível eu sugiro que você pausa o vídeo pense no que você sabe sobre a soma de uma série geométrica infinita convergente e tente escrever este resultado na forma de uma fração é hora então de lembrete a soma de uma série geométrica infinita convergente ou seja somatória quando cá vai de zero o infinito de um certo ter multiplicado pela razão e levado ao expoente cá é igual ao primeiro termo que indicamos por a / 1 - a razão vamos trazer para cá então neste caso esta somatória seria igual a o primeiro termo primeiro termo 0,40 08 0,400 8 / 1 - a razão a razão é o 10 elevada - 4 está aqui então 10 elevado - quatro para razão o 10 elevado a menos quatro é na verdade um sobre 10 mil isto vai ser então igual a 0,40 08 sobre 1 - 1 sobre 10 mil e se um inteiro aqui na verdade eu posso enxergá-lo como 10 mil sobre 10 mil isso é um inteiro - um sobre 10.000 resulta em 9999 9999 sobre 10 mil veja 10 mil - 19 1999 continuando a conta divisão de infrações eu mantenho a primeira e multiplico pelo inverso da segunda vamos lá vão continuando aqui eu vou ter então o 0,40 08 x inverso da segunda então o 10 mil em 1999 continuando multiplicando numerador por numerador 0,40 08 vezes 10 mil basta deslocar os algarismos quatro casas para a esquerda vai dar exatamente o 4008 que nós já tínhamos quatro mil e 8 / ou sobre 9999 pronto se você observar aquela somatória toda foi transformado em uma fração essa fração pode ser simplificada dividindo o numerador e denominador por três nós chegaríamos a 1.336 / 3333 ou seja aquela dízima periódica 0,40 084 00 8 408 é equivalente à fracção 1.336 sobre 3333 se você dividir 1.336 por 3333 vai te dar como resultado esta dízima periódica que nós já tínhamos aqui no começo em resumo uma dízima periódica como esta pode ser descrita como uma série infinita melhor ainda com uma série geométrica infinita que esta soma o que nós temos aqui e usando a fórmula conhecida para uma série geométrica infinita convergente nós chegamos a forma fracionária daquela dízima periódica por ora o trabalho é este estude bastante prática que refaça esta ideia e até o próximo vídeo
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