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Transcrição de vídeo

vamos agora explicar para nós mesmos de uma maneira mais formal o teste da integral este teste nos dias que se assumimos uma dada função fx se temos uma função fdx que é positiva contínua e de crescente em algum intervalo incluindo cá até o infinito então podemos fazer uma entre duas afirmações podemos dizer que será integral em própria de cá para o infinito tfd xx é convergente então a soma a série infinita dn é igual a capa infinito de fdn também será convergente e esse é o caso que vimos quando tínhamos um sobre n ao quadrado mas vamos ver isso daqui a pouco mas a segunda afirmação que podemos fazer ou a segunda redução que nós podemos fazer usando o teste da integral é se isso é o contrário se a integral de cá para infinito a integral em própria df the xx é divergente portanto a mesma afirmação verdadeira para as duas séries infinitas correspondentes então essas séries infinitas bem aqui também serão divergentes e como já mencionei no último vídeo nós já vimos isso no caso de fdx igual a 1 sobre x ao quadrado - que desde que é integral de uma infinito de um sobre x ao quadrado de x é convergente em verdade é igual a 1 por isso podemos dizer que é a soma de n é igual a um é infinito de um sobre n ao quadrado por isso podemos dizer que a soma de n é igual a 1 até o infinito de um sobre ele o quadrado também é convergente e agora podemos ver um exemplo onde seguimos o caminho contrário por exemplo sabemos que essa integral deixe me inscreveria integral começando com a integral de 1 para o infinito mas não de fx é igual a 1 sobre x ao quadrado mas digamos que fdx é igual a 1 sobre x vou escrever aqui começando com fdx é igual a 1 sobre x sem dúvida é positivo de digamos que consideremos isso no intervalo de 1 para o infinito portanto segue a primeira restrição nesse intervalo 1 sobre x é positivo é contínua e é decrescente cada vez que x aumenta fdx diminui vamos ver qual seria integral em própria de um a infinitude isto se vamos de um ao infinito de um sobre x 1 sobre xx é igual a podemos escrever isto como um limite quanto mais te se aproxima do infinito da integral definida de um para te deum sobre xdx o que é igual ao limite quando te se aproxima do infinito pegamos então antes de nevada que será o logaritmo natural de x de 11 até te bem na verdade é o valor absoluto de x mas estamos tratando de x positivo aqui então será apenas um logaritmo natural de x que é igual ao limite de t para o infinito logaritmo natural de t ou poderia dizer logaritmo natural do módulo de t que será um lugar isso natural de t por que te é positivo - o gaúcho natural de um blog de um é zero portanto é apenas o gaúcho natural de t o limite disso vai para o infinito mas deixou se aproximar do infinito será ilimitado isso também vai para o infinito isso daqui é divergente logo isto aqui é divergente e porque isso é divergente podemos dizer que pelo teste da integral nossa função neste intervalo é positiva contínua e decrescente vimos que essa integral em própria que é divergente e eu ainda não provei isso e gloriosamente mas eu espero ter dado uma boa justificativa no vídeo anterior que a série infinita de em igual a 1 para o infinito de um sobre n que é a série harmônica que isso também é divergente já mostramos que a série harmônica é divergente usando aquela bonita elegante prova de onésimo devo estar falando o nome errado então eu usei o teste da comparação mas agora usamos o teste da integral para mostrar que também é divergente mais uma vez vamos lembrar qual é toda a motivação do teste da integral ou desenhar fdx é igual a 1 sobre x então fdx é igual a 1 sobre x vai se parecer com digamos que isso é um dois três e isso é 2 vejamos quando x é um f x é um quando x é 2 fdx é meio ou um terço se é um e mail será sobre dois daqui parece com isto então em cfd x igual a 1 sobre n mais uma vez o intervalo que interessa de um infinito definitivamente é positivo contínua e de crescente e se nós olharmos para essa soma que poderemos ver essa soma como a soma de n igual a 1 para o infinito de um sobre n é igual a um mais meio mas um terço e é claro nós seguimos assim mais e mais neste caso como queremos mostrar que é divergente dizemos vejam só isso é sobre estimação desta área que vamos ser bem claros nós temos esta área temos a estarem verde que é o que a integral impróprio está representando ela é integral impróprio de um para o infinito de um sobre xx você pode ver isso como a sobre estimativa daquela área então isso primeiro isso bem aqui pode-se dizer que é esta é uma altura disso vezes a largura portanto é esse bloco bem aqui que essa área é guarda que ele será igual a 1 logo esta aqui é meio podemos ver a área do próximo bloco você pode ver isso como a soma de rima à esquerda acho que é uma forma de pensar sobre isso e então um terço será igual a este aqui e eu notei que eles todos a área aqui nos importamos a integral em própria está toda contida nestes blocos isso será uma super será uma maior estimativa do que isso mas nós já vimos que isto é indeterminado para infinito isto é divergente então se isso é maior que isto e isto é divergente isto vai ao infinito logo isso também deve ir ao infinito logo é exatamente daqui que o teste da integral está vindo
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