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exploramos agora um pouco a série infinita gn igual a 1 ao infinito de 11 sobre n ao quadrado que obviamente é igual a um mais um quarto isto é um meio quadrado mas um terço ao quadrado que é um nome mas um é assim continua indefinidamente a uma lista de coisas que sabemos a respeito dela primeiramente todos os seus temas são positivos todos temos aqui são positivos e eles estão diminuindo parece que eles estão decrescendo rapidamente de um para um quarto para um nome para 1 16 avos eles estão rapidamente se aproximando de zero o que é um bom indicativo de que esta expressão possivelmente convirja porque todos eles são positivos sabemos que essa soma que se convergir será maior que zero o único motivo pelo qual ela não convergiria s de algum modo ela continuasse limitada uma infinito que sabemos se fosse um sobre n seria ilimitada uma infinito isso mostra que há uma possibilidade aqui se pudéssemos mostrar que isto tem limite então haverá um bom argumento do porquê isso converge já que a única razão pela qual isto divergiria efe você fosse para mais ou menos infinito sabemos que isto não dá para - infinito dado que todos os termos são positivos ou poderia divergir se ela oscilar mas isto não vai oscilar já que todos os termos estão sendo adicionados à soma nenhum deles está sendo subtraído pois não há termos negativos vejamos se encontramos um bom argumento do porquê essa soma não tem limite particularmente se descobrirmos o limite este seria um bom argumento para dizer que esta série infinita deve convergir a forma como faremos isto é explorar uma função relativa é esta eu quero explorar fdx é um sobre x ao quadrado você pode ver isto um sobre n ao quadrado como fdn se eu fosse escrever desta forma porque isso é interessante lançamos um gráfico este é o gráfico de y é igual a fdx note que esta é uma função de crescente e contínua pelo menos um intervalo que nos interessa digamos para valores positivos de x é uma função positiva de crescente e contínuo o interessante é que nós podemos usar isso como uma subestimativa para esta área aqui o que eu quero dizer com isto primeiramente este é o primeiro tema aqui você poderia considerar isso como a área deste bloco que isto fdn ou hefti um da altura e um de largura que é um vezes um sobre um ao quadrado on deixe me assegurar de que estou usando cores diferentes este tema que poderia representar a área deste bloco que é um quarto de altura e 11 de largura que tem uma área de um quarto o que este poderia representar bem a área do próximo bloco se estamos tentando estimar a área abaixo da curva talvez isso lhe pareça familiar de quando fomos apresentados a integral ou antes disco quando estávamos calculando a soma de rehman esta é parte aqui esta área que será igual a um nome o intrigante a respeito disso é que sabemos como encontrar a área exata ou a área exata de um infinito de x talvez possamos usar isso de alguma forma sabemos qual esta área aqui que podemos chamar de integral imprópria de um ao infinito tfd xx nós sabemos como calcular isto e mostraremos logo sabendo que é isto e conhecendo o valor temos um limite superior para um quarto mais um nome mais 1 16 avos e assim por diante isto nos permitiria limitar o resultado dessa série e como dissemos anteriormente será um ótimo argumento para sua convergência não estou apresentando uma prova rigorosa mas espero que você compreenda conceitualmente um teste bastante popular para convergência ou divergência chamado 'teste integral deixe me inscrever para que você saiba para que isto serve o que eu quero dizer com isso deixe-me reescrever essa soma de outra forma nossa série original dn igual a um infinito de um sobre ele o quadrado será igual a área desse primeiro bloco mas a área do resto dos blocos que é um quarto mas um nome mais 1 16 avos deixe me fazer isto de outra cor que nós poderíamos escrever como a soma de n igual álbum que nós poderíamos escrever como a soma de n igual a dois é infinito de um sobre ele o quadrado estou apenas expressando isto como a soma disso mas tudo isto aqui o interessante é que isto que acaba de escrever em azul é este bloco mas este bloco mas o próximo bloco que será menor do que é integral definida aqui note que essa integral definida é uma subestimativa ela está sempre abaixo da curva ela será menor que aquela integral definida poderemos inscrever que isso era menor que 1 mas no lugar de escrever isso vamos escrever isso com mais é integral definida de um infinito 1 sobre x ao quadrado de x porque isso é ótimo porque sabemos como avaliar isso encoraja a revisar a sessão da casa e integrais em próprias se isso não lhe parece familiar mas eu vou resolver isto aqui embaixo sabemos que isso é o mesmo que o limite e vai introduzir uma variável aqui te tendendo infinito da integral definida de 1 até de x - 2 x que é igual ao limite quando te tende ao infinito de menu x a -1 podemos escrever - um sobre x vamos calcular isto em t e em um que é igual ao limite de tt no infinito de -1 sobre t - um sobre um que resulta em mais um quando te se aproxima do infinito este tema que será a 0 então isso simplificará para um essa coisa toda aqui é um desta forma somos capazes de calcular um limite superior para esta série podemos dizer que a série em questão a soma infinita dn igual a 1 ao infinito de um sobre ele o quadrado será menor que 1 mais 1 ou seja deixe me outra cor menor que 2 outra forma de pensar nos a respeito seria pensarmos que dois esta área mas esta aqui estamos dizendo que esta soma é menor que 2 assim definimos um limite superior ela não será menos infinito e já que todos os termos são positivos sabemos que é só uma não se lará entre dois valores desta forma isso nos dá uma boa impressão de que esta série converge a lógica que usamos aqui para convencer porque a série converge novamente essa não é uma prova rigorosa mas é a lógica subjacente do teste integral
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