Exemplo resolvido: teste da comparação direta

RKA7MP - Vamos pensar na cena infinita. Temos "n" igual a 1 até o infinito de 1, sobre 2ⁿ mais "n". O que vamos fazer é tentar provar se isto converge ou diverge, e você pode imaginar, baseado no contexto de onde este vídeo aparece na Khan Academy, que talvez utilizaremos o teste de comparação. A qualquer momento, se você sentir que consegue resolver isto até o fim, sinta se à vontade para pausar o vídeo e resolver. Para ajudar a pensar sobre como resolver esta série, vamos expandi-la um pouco. Vamos lá! Se "n" é igual a 1, 1 sobre 2¹ é igual a 2, mais 1, isto será igual a 1/3. Se "n" for igual a 2, teremos 1 sobre 2² mais 2, que será igual a 1/6. Se tivermos "n" igual a 3, aí ficaria 1 sobre 2³, mais 3, que será igual a 1/11. Se tivermos "n" igual a 4, temos 1 sobre 2⁴, mais 4, que será igual a 1/20. E podemos continuar. Parece que isto converge. Todos os termos são positivos e estão ficando menores bem rápido. E se você olhar para o comportamento dos termos, à medida em que "n" fica maior, vemos que 2ⁿ irá crescer muito mais rápido que "n". Esse tipo de comportamento, como 1 sobre 2ⁿ, é uma cópia de algo que podemos utilizar no teste da comparação. Deixe-me escrever isso. Temos a cena infinita de "n" até o infinito de 1 sobre 2ⁿ. Quando "n" é igual a 1, 1 sobre 2¹, igual a 1/2. Quando "n" é igual a 2, 1 sobre 2² será igual a 1/4. Quando "n" for igual a 3, temos 1 sobre 2³, que será igual a 1/8. Quando "n" for igual a 4, teremos 1 sobre 2⁴, que será igual a 1/16. E podemos continuar. O que é interessante aqui é que conhecemos isto. Esta é uma série geométrica. Deixe-me ser mais claro. Esta coisa aqui é igual à soma de "n" igual a 1, até o infinito de 1/2 elevado a "n". Logo, como o valor absoluto de 1/2 é menor que 1, sabemos que esta série geométrica converge. Sabemos que esta série converge e, na verdade, sabemos que juntas as duas séries têm tudo o que necessitamos para o teste de comparação. Vamos voltar ao que escrevemos sobre o teste de comparação. No teste de comparação, temos duas séries. Todos os seus termos são maiores ou iguais a zero, e estes termos são todos maiores que zero, e para os correspondentes termos de uma série, devem ser todos maiores ou iguais aos da outra série. Se olharmos aqui, podemos considerar esta a série verde. Esta é a série infinita, com termos de "a" sobre "n". E esta seria a série roxa. Note que todos os seus termos são positivos e os termos correspondentes são maiores. 1/3 é menor que 1/2, 1/6 é menor que 1/4, e assim por diante. E, no caso, 1 sobre 2ⁿ também será maior que 1 sobre 2ⁿ mais "n". Isto, levando em consideração os "n" que estamos usando. Como sabemos que esta converge? Pelo teste de comparação, a série em questão também irá convergir.