Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Exemplo resolvido: teste da comparação no limite

Para usar o teste da comparação no limite para uma série S₁, precisamos encontrar uma outra série S₂ que seja similar em estrutura (de modo que o limite infinito de S₁/S₂ seja finito) e cuja convergência já esteja determinada. Veja um exemplo resolvido da utilização do teste neste vídeo.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA8JV - Recebemos uma série aqui, e eles dizem: que série devemos usar no teste de comparação do limite para determinar se "S" converge? Então, lembremo-nos sobre o teste comparação de limites. Se dissermos que temos duas séries, eu vou usar essa notação, aₙ e depois a outra série, bₙ. Sabemos que aₙ e bₙ são maiores ou iguais a zero para todos os "n". Se sabemos isso, se o limite de "n" se aproxima do infinito de aₙ/bₙ é igual a alguma uma constante positiva. Então, a constante é maior do que zero e menor do que o infinito. Então, ambos convergem ou ambos divergem. E realmente faz muito sentido, porque está dizendo: olhe, enquanto entramos em nossos grandes valores de "n", como estamos muito longe de lá, em termos de, se nosso comportamento começa a parecer o mesmo, então, faz sentido que ambas as séries convirjam ou divirjam. Nós temos um vídeo introdutório sobre isso, é um outro vídeo. Então, vamos pensar sobre o que, se dissermos que este é o nosso aₙ, qual dessas séries nós realmente podemos comparar? Isso parece ter o mesmo comportamento de "n" quando é realmente grande? Bem, este parece simplesmente ficar sem limites, este não é tão parecido com a série "S". Tenho um "3ⁿ - 1" no denominador, mas o numerador não se comporta da mesma forma. Este aqui é interessante, porque poderíamos escrever isso. É igual à soma de "n = 1" para o infinito. Podemos escrever. Isto é 2ⁿ/3ⁿ. Estes são muito semelhantes, a única diferença entre isso e isto é que no denominador aqui ou no denominador aqui em cima nós temos um menos, e aqui embaixo nós não temos esse -1, e assim faz sentido dado que isso é apenas uma constante, que, como "n", é muito grande, que estes podem comportar-se da mesma forma. Então, vamos tentar e vamos encontrar o limite. Também sabemos que aₙ e bₙ, se dissermos que isto aqui é bₙ, nós dizemos que é bₙ, e isso vai ser positivo, ou isso será maior ou igual a zero para "n" igual a 1, 2, 3, portanto, para qualquer valor, isso será maior ou igual a zero. E o mesmo aqui, vai ser maior ou igual a zero para todos os "n" sobre os quais nos preocupamos. Então, encontramos esses primeiros constrangimentos, e então, vamos encontrar o limite quando "n" se aproxima do infinito de aₙ, que é, vou escrever naquela cor vermelha, é o limite de "n" tendendo a zero. de 2ⁿ/3ⁿ menos 1 sobre 2ⁿ/3ⁿ. Vamos usar um pouco de resolução algébrica por aqui. Isso vai ser o mesmo que 2ⁿ sobre 3ⁿ - 1 vezes 3ⁿ sobre 2ⁿ. Divido o numerador e os denominadores. Estes 2ⁿ vão se cancelar e assim isso nos dará: 3ⁿ/3ⁿ - 1. Podemos dividir o numerador e o denominador por 3ⁿ. Isso nos dará 1 sobre 1 - 1/3ⁿ. Então, podemos dizer que isso é o mesmo que o limite quando "n" se aproxima do infinito de 1 sobre 1 - 1/3ⁿ. Bem, ao que isso vai ser igual? Como isso se aproxima do infinito, esta coisa, 1/3ⁿ, isso vai só para zero, então, isto é, tudo isso vai abordar 1, e 1 é claramente entre zero e infinito. Então, os destinos dessas duas séries estão amarrados, ambos convergem ou ambos divergem. Então, esta é uma forma de usar o teste de comparação de limite. Vamos pensar sobre isso. Ambos convergem ou ambos divergem. Bem, esta é uma série geométrica. Nossa razão comum aqui é inferior a 1, então, isso vai convergir, porque pelo teste de comparação de limite, a nossa série original "S" converge. E finalizamos.