Convergência absoluta e condicional

RKA2G - No vídeo em que introduzimos o teste série alternada, na verdade usamos a série infinita de n = 1 até o infinito de -1 elevado a (n + 1), sobre "n". Usamos isso como exemplo de aplicação do teste da série alternada e provamos que isto converge. Então, esta série, que é 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 e que continua infinitamente, usamos o teste da série alternada naquele vídeo para provar que isto converge. Isto vai convergir. Isto converge pelo teste da série alternada. Se você não sabe o que é, ou se você quiser revisar, assista ao vídeo sobre o teste da série alternada. Agora vamos pensar sobre o que acontece se pegarmos o valor absoluto de cada um destes termos. Se pegarmos o valor absoluto de cada um destes termos, se fosse feita a soma de n = 1 até infinito do valor absoluto de -1 elevado a (n + 1), sobre "n", o numerador ou será positivo, ou negativo. Mas o valor absoluto sempre será 1. E "n" sempre será positivo. Estamos indo de 1 a infinito. Então, vai ser igual à soma de n = 1 até infinito de 1/n. Isto não é nada mais do que a famosa série harmônica. Já fizemos um vídeo sobre isso. Se você não acredita, pode procurar na Khan Academy e mostraremos para você a famosa prova de que a série harmônica diverge. A série harmônica não é nada mais do que 1 + 1/2 + 1/3... e continua. E nós já sabemos que isto diverge. Portanto, quando você encontra uma série que converge, mas se você fosse tomar o valor absoluto de cada um dos termos, então, a série diverge, ok? Então, podemos dizer que a série converge condicionalmente. Podemos dizer que converge condicionalmente. É uma condição, acho que podemos afirmar isso, que não estamos tomando o valor absoluto de cada um dos termos. Se algo converge quando você toma o seu valor absoluto, também dizemos que converge absolutamente. Vamos ver um exemplo disso. Vamos tomar esta série. É uma série geométrica. Vamos tomar a soma de n = 1 até infinito de -1/2 elevado a (n + 1). Sabemos que é uma série geométrica, onde os valores absolutos do fator comum é menor do que 1. Sabemos que converge. Se fôssemos tomar o valor absoluto de cada um desses termos, isto seria a mesma coisa que a soma de n = 1 até infinito de 1/2 elevado a (n + 1). E aqui, mais uma vez, no fator comum, o valor absoluto do fator comum, é menor do que 1. Estudamos isso quando vimos séries geométricas. Então, isto também converge. Quando tomamos o valor absoluto dos termos, ainda assim convergiu. Para este caso, podemos dizer, então, que converge absolutamente. Nós já falamos bastante sobre convergência e divergência e foi tudo muito bem. O que estamos fazendo neste vídeo é introduzir nuances da convergência. Você pode convergir, mas pode ser interessante dizer: "bem, ainda convergiria se tomássemos o valor absoluto dos termos?" Se convergem, mas não convergem quando tomamos o valor absoluto dos termos, Dizemos que convergem condicionalmente. Se convergem e ainda convergem quando tomamos o valor absoluto dos termos, neste caso dizemos que convergem absolutamente, pois, mesmo se você tomar o valor absoluto dos termos, ainda converge. Espero que você tenha aproveitado o vídeo!