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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 10
Lição 9: Determinação da convergência absoluta ou condicionalConvergência absoluta e condicional
"Convergência absoluta" significa que uma série vai convergir, mesmo quando você utilizar o valor absoluto de cada termo; já "convergência condicional" significa que a série converge, mas não totalmente.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - No vídeo em que introduzimos
o teste série alternada, na verdade usamos a série infinita de n = 1 até o infinito de -1
elevado a (n + 1), sobre "n". Usamos isso como exemplo de aplicação
do teste da série alternada e provamos que isto converge. Então, esta série, que é 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 e que continua infinitamente, usamos o teste da série alternada
naquele vídeo para provar que isto converge. Isto vai convergir. Isto converge pelo teste da série alternada. Se você não sabe o que é,
ou se você quiser revisar, assista ao vídeo sobre
o teste da série alternada. Agora vamos pensar sobre o que acontece se pegarmos o valor absoluto
de cada um destes termos. Se pegarmos o valor absoluto
de cada um destes termos, se fosse feita a soma de n = 1 até infinito do valor absoluto de -1 elevado a
(n + 1), sobre "n", o numerador ou será positivo,
ou negativo. Mas o valor absoluto sempre será 1. E "n" sempre será positivo. Estamos indo de 1 a infinito. Então, vai ser igual à soma de n = 1 até infinito de 1/n. Isto não é nada mais do que
a famosa série harmônica. Já fizemos um vídeo sobre isso.
Se você não acredita, pode procurar na Khan Academy e mostraremos para você
a famosa prova de que a série harmônica diverge. A série harmônica não é nada mais
do que 1 + 1/2 + 1/3... e continua. E nós já sabemos que isto diverge. Portanto, quando você encontra
uma série que converge, mas se você fosse tomar o valor
absoluto de cada um dos termos, então, a série diverge, ok? Então, podemos dizer que a série
converge condicionalmente. Podemos dizer que converge
condicionalmente. É uma condição, acho que
podemos afirmar isso, que não estamos tomando o valor
absoluto de cada um dos termos. Se algo converge quando você toma
o seu valor absoluto, também dizemos que converge absolutamente. Vamos ver um exemplo disso. Vamos tomar esta série.
É uma série geométrica. Vamos tomar a soma de n = 1 até infinito de -1/2 elevado a (n + 1). Sabemos que é uma série geométrica, onde os valores absolutos
do fator comum é menor do que 1. Sabemos que converge. Se fôssemos tomar o valor absoluto
de cada um desses termos, isto seria a mesma coisa que
a soma de n = 1 até infinito de 1/2 elevado a (n + 1). E aqui, mais uma vez, no fator comum,
o valor absoluto do fator comum, é menor do que 1. Estudamos isso quando
vimos séries geométricas. Então, isto também converge. Quando tomamos o valor absoluto
dos termos, ainda assim convergiu. Para este caso, podemos dizer, então,
que converge absolutamente. Nós já falamos bastante
sobre convergência e divergência e foi tudo muito bem. O que estamos fazendo neste vídeo
é introduzir nuances da convergência. Você pode convergir,
mas pode ser interessante dizer: "bem, ainda convergiria se tomássemos
o valor absoluto dos termos?" Se convergem, mas não convergem quando
tomamos o valor absoluto dos termos, Dizemos que convergem condicionalmente. Se convergem e ainda convergem quando
tomamos o valor absoluto dos termos, neste caso dizemos que convergem
absolutamente, pois, mesmo se você tomar o valor
absoluto dos termos, ainda converge. Espero que você tenha aproveitado o vídeo!