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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 10
Lição 16: Vídeos opcionais- Definição formal do limite de uma sequência
- Prova de que uma sequência converge usando a definição formal
- Fórmula das séries geométricas finitas
- Raciocínio sobre a fórmula das séries geométricas infinitas
- Prova da série geométrica infinita como um limite
- Prova dos critérios de convergência para séries p
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Definição formal do limite de uma sequência
Uma sequência é "convergente" quando seus termos se aproximam de um valor específico no infinito. Este vídeo é uma definição mais formal do que significa para uma sequência ser convergente. Versão original criada por Sal Khan.
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- como a lua tampa o sol 15:55(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - O que eu quero fazer,
neste vídeo, é fornecer uma definição rigorosa do que significa pegar o limite
de uma sequência, quando "n" se aproxima do infinito. O que vamos ver é realmente parecido com uma definição de qualquer função, quando o limite se aproxima do infinito. E isto é porque sequências
podem simplesmente ser vistas como uma função
de seus índices. Vou desenhar uma
sequência arbitrária aqui. Eu vou desenhar desta forma
para ficar claro. Mas, o limite está se aproximando. Portanto, eu vou desenhar uma sequência
que está pulando um pouco. Digamos que, quando "n = 1",
a₁ está ali. Quando "n = 2", a₂ está ali. Quando "n = 3", a₃ está lá. Quando "n = 4", a₄ está aqui. Quando "n = 5", a₅ está aqui. E parece que é "n",
portanto, isto, 1, 2, 3, 4, 5, parece que quando "n" fica maior e maior, aₙ parece estar se aproximando
de um valor, parece estar chegando mais e mais perto. Parece estar convergindo para
um valor "L", bem aqui. O que precisamos fazer é determinar o que
realmente significa convergir para "L" Digamos que vamos convergir para "L", para qualquer Ɛ > 0. Para qualquer Ɛ positivo. Você pode determinar para cada Ɛ positivo, existe um "M" positivo, "M" maiúsculo, tal que se "n" minúsculo
for maior que "M" maiúsculo, a distância entre "aₙ" e nosso limite, este "L" bem aqui, a distância entre estes dois pontos
será menor que Ɛ. Se você puder fazer isso
com qualquer Ɛ > 0 há um "M" positivo, tal que se n > M, a distância de "aₙ" e o nosso limite
será menos que Ɛ. Então, podemos dizer que o limite de "aₙ", quando "n" se aproxima do infinito, é igual a "L". E podemos dizer que "aₙ"
converge para "L". Vamos analisar isto. Aqui, eu estava declarando que "aₙ"
está se aproximando de "L", bem aqui. Eu tentei desenhá-lo como
a linha horizontal. Esta definição do que significa
convergência de uma sequência diz: olha, para cada Ɛ > 0. Eu vou pegar um Ɛ > 0. Portanto, aL - Ɛ. Na verdade, eu vou fazer isto deste lado. Portanto, veja que este é L + Ɛ e digamos que este aqui é L - Ɛ. Eu vou desenhar estes
dois limites, bem aqui. Eu peguei um Ɛ aqui
para qualquer Ɛ arbitrário. Para qualquer Ɛ positivo
que eu selecionar, podemos encontrar um "M" positivo. De forma que, digamos que
este seja um "M", bem aqui. Contando que o nosso aₙ
seja maior que "M", nosso "aₙ" estará dentro do Ɛ de "L". O que, essencialmente,
significa estar dentro desta faixa. Isso está dizendo: veja que a distância entre "aₙ" e "L"
é menor que Ɛ. De forma que, seria qualquer um destes
entre "L - Ɛ", e "L + Ɛ". A distância entre aquilo e nosso limite, vai ser menor que Ɛ. E vemos bem aqui, pelo menos visualmente, se você pegar um "n"
que for maior que "M", se "M = 3", "aₙ" parece estar perto o suficiente. Se "M = 4",
"aₙ" chega ainda mais próximo dentro nosso Ɛ. Portanto, podemos dizer que é verdade! Para qualquer Ɛ que pegarmos, podemos dizer que estes limites existem, que "aₙ" converge para "L". No próximo vídeo,
eu vou usar essa definição para provar que uma sequência converge.