Definição formal do limite de uma sequência

RKA3JV - O que eu quero fazer, neste vídeo, é fornecer uma definição rigorosa do que significa pegar o limite de uma sequência, quando "n" se aproxima do infinito. O que vamos ver é realmente parecido com uma definição de qualquer função, quando o limite se aproxima do infinito. E isto é porque sequências podem simplesmente ser vistas como uma função de seus índices. Vou desenhar uma sequência arbitrária aqui. Eu vou desenhar desta forma para ficar claro. Mas, o limite está se aproximando. Portanto, eu vou desenhar uma sequência que está pulando um pouco. Digamos que, quando "n = 1", a₁ está ali. Quando "n = 2", a₂ está ali. Quando "n = 3", a₃ está lá. Quando "n = 4", a₄ está aqui. Quando "n = 5", a₅ está aqui. E parece que é "n", portanto, isto, 1, 2, 3, 4, 5, parece que quando "n" fica maior e maior, aₙ parece estar se aproximando de um valor, parece estar chegando mais e mais perto. Parece estar convergindo para um valor "L", bem aqui. O que precisamos fazer é determinar o que realmente significa convergir para "L" Digamos que vamos convergir para "L", para qualquer Ɛ > 0. Para qualquer Ɛ positivo. Você pode determinar para cada Ɛ positivo, existe um "M" positivo, "M" maiúsculo, tal que se "n" minúsculo for maior que "M" maiúsculo, a distância entre "aₙ" e nosso limite, este "L" bem aqui, a distância entre estes dois pontos será menor que Ɛ. Se você puder fazer isso com qualquer Ɛ > 0 há um "M" positivo, tal que se n > M, a distância de "aₙ" e o nosso limite será menos que Ɛ. Então, podemos dizer que o limite de "aₙ", quando "n" se aproxima do infinito, é igual a "L". E podemos dizer que "aₙ" converge para "L". Vamos analisar isto. Aqui, eu estava declarando que "aₙ" está se aproximando de "L", bem aqui. Eu tentei desenhá-lo como a linha horizontal. Esta definição do que significa convergência de uma sequência diz: olha, para cada Ɛ > 0. Eu vou pegar um Ɛ > 0. Portanto, aL - Ɛ. Na verdade, eu vou fazer isto deste lado. Portanto, veja que este é L + Ɛ e digamos que este aqui é L - Ɛ. Eu vou desenhar estes dois limites, bem aqui. Eu peguei um Ɛ aqui para qualquer Ɛ arbitrário. Para qualquer Ɛ positivo que eu selecionar, podemos encontrar um "M" positivo. De forma que, digamos que este seja um "M", bem aqui. Contando que o nosso aₙ seja maior que "M", nosso "aₙ" estará dentro do Ɛ de "L". O que, essencialmente, significa estar dentro desta faixa. Isso está dizendo: veja que a distância entre "aₙ" e "L" é menor que Ɛ. De forma que, seria qualquer um destes entre "L - Ɛ", e "L + Ɛ". A distância entre aquilo e nosso limite, vai ser menor que Ɛ. E vemos bem aqui, pelo menos visualmente, se você pegar um "n" que for maior que "M", se "M = 3", "aₙ" parece estar perto o suficiente. Se "M = 4", "aₙ" chega ainda mais próximo dentro nosso Ɛ. Portanto, podemos dizer que é verdade! Para qualquer Ɛ que pegarmos, podemos dizer que estes limites existem, que "aₙ" converge para "L". No próximo vídeo, eu vou usar essa definição para provar que uma sequência converge.