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Raciocínio sobre a fórmula das séries geométricas infinitas

Transcrição de vídeo

vamos obter mais uma vez a fórmula para a série geométrica infinita mas por outro caminho lembrando que a série geométrica infinita é a somatória com caindo de zero até o infinito dos termos definidos por aqui multiplicam certo o número chamado razão e levado a um expoente cá nesse caso vamos para facilitar dizer que essa somatória toda vai ser representada pelo s infinito e oeci infinito vai ser a sua mãe então de todos esses termos que seria o a multiplicado pela razão e levado aos point 0 mais o a multiplicando a razão elevada ao expoente um a mais o a multiplicado pela razão elevada ao expoente 2 e assim sucessivamente infinitamente assim como fizemos na outra situação vamos multiplicar todos os termos dessa igualdade pela razão que eu teria então que multiplicando o s infinito vai ser igual todos os temos aqui vão multiplicar por que então o primeiro era a vezes que elevada 0 agora vai ser a vezes que é elevada a primeira potência porque multipliquei este aqui pelo que mas oa vezes que é elevada a primeira vai ficar a vezes o que é levado a segunda potência para o próximo termo nós vamos ter o ar multiplicado pela razão e levada a terceira potência e assim infinitamente com todos os termos nós faríamos o mesmo o próximo passo subtrair a segunda da primeira ou seja fazer a grosseiramente falando a expressão de cima - a de baixo eu teria então s infinito que é de cima - essa aqui de baixo que essa infinito que vezes o s infinito igual a vamos lá se eu pegar o aves que levado a 0 não tem nenhum termo semelhante para subtrair então aqui no resultado eu teria o aves que levava 0 que eu vou representar somente por aquele vagas era um tal vão representar por a em seguida há vezes que elevado a 1 - há vezes que elevada um vai cancelar a vezes que elevada 2 - avisa que levava 2 idem em seguida tem uma vez que é elevada a 3 que cancelou a visita que ele para 3 o aves que ele roda 4 foi cancelado e as infinitamente eu sempre vou ter um próximo termo aqui que cancela com o próximo tema daqui resta somente então a que o primeiro termo nesta situação eu vou colocar o s infinito em evidência do lado esquerdo da igualdade e teria então essa infinito que multiplica entre parênteses um a menos que em razão do bloqueio é infinito em evidência isso igual a hora vou dividir os dois lados por um menos que de maneira que eu vou ficar do lado esquerdo com s infinito igual a / 1 - que é exatamente a mesma fórmula que nós obtivemos em vídeo anterior quando tratávamos da demonstração desta forma uma fórmula para a soma dos infinitos termos de uma série geométrica tomar um exemplo na série geométrica com o primeiro termo sendo 5 ea razão sendo três quintos então 5 o primeiro termo multiplica por três quintos da 3a próximo termo multiplicou por três quintos fica nove quintos para o próximo explicou por três quintos ou ter 27 25 alvos para o próximo multiplica por três quintos ou ter 81 cento e vinte e cinco avos e assim infinitamente qual é a soma de todos esses infinitos termos bem vamos usar esta fórmula para definir para obter a soma dos infinitos termos dessa série vai ser então esta conta eu devo tomar o aqui o primeiro termo que ali então era 5 sobre um - azzam um - a razão a razão três quintos tão menos três quintos fazendo as contas aqui nós teríamos então 5 sobre cinco quintos menos três quintos dois quintos usando a propriedade as propriedades da divisão de infrações eu teria então cinco inteiros multiplicando pelo inverso cinco meios isso resulta em 25 meios ou em forma decimal 12,5 quer dizer que a soma desses infinitos termos daqui resulta 12,5 o resultado é empolgante porque eu estou somando infinitos termos e obtenha um resultado bem definido doze meio 2,5 faz algum sentido porque você observando começa de um termo que a 15 e vai diminuindo a cada vez mais então eles cada tempo tem uma parcela menor na soma infinitamente eu vou ter todo 1,5 resultado bem define tudo bem mas quando isso funciona isso funciona apenas quando o módulo da razão é um número menor do que 1 se não for assim nós não vamos conseguir obter uma soma pra série geométrica infinita vamos analisar quando a razão tem módulo menor que 1 nós temos é esta situação em que de um tempo para o próximo nós vamos ter um valor cada vez menor menor menor e menor e faz sentido imaginar que essa soma converge e é o que de fato nós observamos nesse exemplo se a razão for zero o que acontece bem nesta fórmula se a razão for zero teremos a sobre o menu 0 a soma toda seria o aqui é o primeiro termo embora nós não falemos disso na progressão geométrica ou na série geométrica a razão 0 mas aqui nas contas este pedaço não estaria definido mas nós colocamos o que é elevada a 0 para poder generalizar se nós tirássemos isso aqui a sua mentira ficaria simplesmente com a faz algum sentido ele embora a razão igual a zero não faça sentido ao falar de uma série geométrica se o que é igual a 1 aqui eu teria mais a mais a mais a mais a infinitamente isso daria um valor infinito silva for menos um eu teria menos a mais amenos a ou seja hora a soma vai ter valor hora vai ter outro valor ela fica modificando de valor se a razão tiver um valor maior do que 1 esses termos falando em módulo vão ficando cada vez maiores de modo que essa soma vai ser também infinita em outras palavras essa série só converge se o módulo da razão for menor do que 1 em outras palavras se a razão for um número entre -1 e 18 e é isso aí somando os infinitos termos de uma progressão geométrica a soma de uma série geométrica infinita até o próximo vídeo
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