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Raciocínio sobre a fórmula das séries geométricas infinitas

Transcrição de vídeo

RKA2G Vamos obter, mais uma vez, a fórmula para a série geométrica infinita, mas por outro caminho. Lembrando que a série geométrica infinita é a somatória com "k" indo de zero até o infinito dos termos definidos por "a", que multiplica um certo número chamado "razão", elevado a um expoente "k". Neste caso, para facilitar, vamos dizer que essa somatória toda vai ser representada pelo S∞. E o S∞ vai ser a soma de todos esses termos, que seria: "a" multiplicado pela razão elevada ao expoente zero, mais "a" multiplicando a razão elevada ao expoente 1, mais "a" multiplicado pela razão elevada ao expoente 2 e assim sucessivamente e infinitamente. Assim como fizemos na outra situação, vamos multiplicar todos os termos desta igualdade pela razão "q". Eu teria: "q" multiplicando S∞ vai ser igual... Todos os temos aqui eu vou multiplicar por "q". O primeiro era "a" vezes q⁰, agora vai ser "a" vezes q¹, porque multipliquei este aqui pelo "q". Mais: "a" vezes q¹ vai ficar "a" vezes q². Para o próximo termo, nós vamos ter "a" multiplicado pela razão ("q") elevada à terceira potência e assim, infinitamente, com todos os termos, nós faríamos o mesmo. Próximo passo: subtrair a segunda da primeira, ou seja, fazer, grosseiramente falando, a expressão de cima menos a de baixo. Eu teria: S∞, que é de cima, menos esta aqui de baixo, qS∞, igual a... Se eu pegar "a" vezes q⁰, não tem nenhum termo semelhante para subtrair. Então, no resultado, eu teria "a" vezes q⁰, que eu vou representar somente por "a" (q⁰ = 1, então vamos representar por "a"). Em seguida, "a" vezes q¹ menos "a" vezes q¹ vai cancelar. "a" vezes q² menos "a" vezes q², idem. Em seguida, tem "a" vezes q³, que cancela "a" vezes q³. "a" vezes q⁴ vai cancelar e assim infinitamente. Eu sempre vou ter um próximo termo aqui que cancela com o próximo termo daqui. Resta somente "a", que é o primeiro termo nesta situação. Eu vou colocar o S∞ em evidência do lado esquerdo da igualdade. Eu teria, então: S∞ que multiplica, entre parênteses, 1 - q ("q" é a razão). Coloquei o S∞ em evidência. Isso igual a "a". Vou dividir os dois lados por 1 - q, de maneira que eu vou ficar, do lado esquerdo, com: S∞ = "a" dividido por 1 - q, que é exatamente a mesma fórmula que nós obtivemos em vídeo anterior, quando tratávamos da demonstração desta fórmula, da fórmula para a soma dos infinitos termos de uma série geométrica. Vamos tomar um exemplo. Na série geométrica com o primeiro termo sendo 5 e a razão sendo 3/5. O 5 é o primeiro termo, multiplico por 3/5, dá 3, que é o próximo termo, multiplico por 3/5. Fica 9/5 para o próximo, multiplico por 3/5. Vou ter 27/25 para o próximo, multiplico por 3/5. Vou ter 81/125 e assim infinitamente. Qual é a soma de todos esses infinitos termos? Vamos usar esta fórmula para definir, para obter a soma dos infinitos termos desta série. Vai ser esta conta: eu devo tomar o "a", que é o primeiro termo, que ali era 5, sobre 1 menos a razão. A razão é 3/5. Então, 1 - 3/5. Fazendo as contas aqui, nós teríamos: 5 sobre... 5/5 - 3/5 = 2/5. Usando as propriedades da divisão de frações, eu teria cinco inteiros, multiplicando pelo inverso, 5/2. Isso resulta em 25/2 ou, em forma decimal, 12,5. Quer dizer que a soma destes infinitos termos daqui resulta em 12,5. É um resultado empolgante, porque eu estou somando infinitos termos e obtenho um resultado bem definido: 12,5. Faz algum sentido, porque você, observando, começa de um termo, que é o 5, e vai diminuindo a cada vez mais. Então, cada termo tem uma parcela menor na soma. Infinitamente, eu vou ter 12,5, um resultado bem definido. Bem, mas quando isso funciona? Isso funciona apenas quando o módulo da razão é um número menor do que 1. Se não for assim, nós não vamos conseguir obter uma soma para a série geométrica infinita. Vamos analisar: quando a razão tem módulo menor que 1, nós temos esta situação em que, de um termo para o próximo, nós vamos ter um valor cada vez menor. E faz sentido imaginar que essa soma converge e é o que, de fato, nós observamos neste exemplo. Se a razão for zero, o que acontece? Nesta fórmula, se a razão for zero, teremos "a" sobre 1 - 0. A soma toda seria o "a", que é o primeiro termo. Embora nós não falemos disso na progressão geométrica, ou na série geométrica (a razão 0), mas aqui nas contas este pedaço não estaria definido, mas nós colocamos o q⁰ para poder generalizar. Se nós tirássemos isto aqui, a soma inteira ficaria simplesmente com "a". O que faz algum sentido, embora a razão igual a zero não faça sentido ao falar de uma série geométrica. Se o "q" é igual a 1, aqui eu teria a + a + a + a + a, infinitamente e isso daria um valor infinito. Se "a" for -1, eu teria a - a + a - a, ou seja, ora a soma vai ter um valor, ora vai ter outro valor. Ela fica modificando de valor. Se a razão tiver um valor maior do que 1, estes termos, falando em módulo, vão ficando cada vez maiores, de modo que esta soma vai ser, também, infinita. Em outras palavras, esta série só converge se o módulo da razão for menor do que 1. Em outras palavras, se a razão for um número entre -1 e 1 . Muito bem. É isso aí, a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica. A soma de uma série geométrica infinita. Até o próximo vídeo!
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