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Prova da série geométrica infinita como um limite

Transcrição de vídeo

em vídeo anterior nós escrevemos a série geométrica soma dos termos de uma progressão geométrica finita por meio dessa somatória e consequentemente demonstramos esta fórmula agora vem a questão o que dizer sobre a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita ou seja uma série geométrica infinita estamos falando de somar infinitos termos e obter possivelmente o resultado final isto dependendo do valor da razão que é representado pela letra aqui há mais uma maneira de pensar nessa sua infinita e uma delas é trabalhar com o limite com n atendendo ao infinito desta somatória vôo simplesmente copiar esta expressão e colar ali estamos falando do limite com ele tendendo ao infinito desta somatória o que equivale naturalmente a aplicar o mesmo limite para esta fórmula um limite com o n tendendo ao infinito desta forma que eu também vou simplesmente copiar e colar aqui como se comporta esse limite nesta fórmula eu sugiro que você pausa o vídeo e pense um pouquinho inclusive é interessante você pensar nos valores da razão o que acontece é a razão tiver valor absoluto maior que 1 que acontece a razão tiver valor absoluto igual o que acontece a razão tiver valor absoluto menor do que 1 com o valor absoluto da razão é maior do que um número maior do que um elevador um expoente cada vez maior porque estamos falando de nintendo infinito isso aqui vai dar um valor muito muito muito grande em valor absoluto naturalmente e isso aqui entre aspas vai explodir vai dar um resultado gigantescamente grande se o valor de que for um nós vamos ter problema porque o denominador a 0 então essa fórmula nem se aplica essa fórmula pode na verdade ser útil quando o valor absoluto de que está entre zero e um o que vai acontecer nesse caso em que o valor absoluto da razão está entre 0 e 1 a 1 haverá problemas com o denominador porque o que não vale um quando que tem um valor absoluto entre zero e 0,1 alguma coisa em módulo o número menor do que entre zero e um melhor dizendo e levado a um expoente que é cada vez maior resulta em algo cada vez menor cada vez menor e vai tendendo a zero estamos dizendo que todo este pedaço aqui quando o n é suficientemente grande stu tente a 0 pense por exemplo número meio no lugar da razão meio elevado a 10 6 elevadas em meio a um milhão vai ficando cada vez menor de maneira que este pedaço da fórmula tende a zero de maneira que isto tudo ficaria simplesmente a igual à que este a que não muda o valor fixo sobre um - a razão que também valor fixo não muda aqui nós estávamos mudando quem o expoente estávamos alterando o expoente imaginando que ele se fosse cada vez maior vamos tomar como exemplo a série geométrica começando por um ea razão um terço então 11 vez um terço me dá o próximo termo que é um terço vezes um terço de novo me dá o próximo termo que é um terço elevada ao quadrado a multiplicar por um terço ou ter então um terço elevado ao cubo e assim sucessivamente para sempre diretamente o que temos aqui acima é a informação de que esta soma é a soma é uma série geométrica com a razão entre 0 e 1 de modo que o resultado dessa sua infinita é exatamente aquele que está na fórmula que é o aqui o primeiro termo que é simplesmente um sobre um - a razão 1 - a razão a razão nesse caso um terço resolvendo esta conta isto é simplesmente igual a 1 sobre dois terços efetuando a divisão das frações e tenho um inteiro vezes o inverso da segunda fração que três meios isso dá exatamente três meios prontos eo somar estes infinitos termos infinitamente vai dar três meios é isso aí até o próximo vídeo
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