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Prova da série geométrica infinita como um limite

Transcrição de vídeo

RKA2G Em um vídeo anterior, nós escrevemos a série geométrica, a soma dos termos de uma progressão geométrica finita, por meio desta somatória e, consequentemente, demonstramos esta fórmula. Agora vem a questão: o que dizer sobre a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, ou seja, uma série geométrica infinita? Estamos falando de somar infinitos termos e obter, possivelmente, um resultado finito, dependendo do valor da razão, que é representado pela letra "q". Há mais de uma maneira de pensar nessa soma infinita e uma delas é trabalhar com o limite, com "n", tendendo ao infinito desta somatória. Vou simplesmente copiar esta expressão e colar ali. Estamos falando do limite, com ele tendendo ao infinito desta somatória, o que equivale, naturalmente, a aplicar o mesmo limite para esta fórmula. Um limite com o "n" tendendo ao infinito desta fórmula, que eu também vou simplesmente copiar e colar aqui. Como se comporta este limite nesta fórmula? Eu sugiro que você pause o vídeo e pense um pouquinho. Inclusive, é interessante você pensar nos valores da razão. O que acontece se a razão tiver valor absoluto maior que 1? O que acontece se a razão tiver valor absoluto igual a 1? O que acontece se a razão tiver valor absoluto menor do que 1? Quando o valor absoluto da razão é maior do que 1, um número maior do que 1, elevado a um expoente cada vez maior, porque estamos falando que "n" tende ao infinito, isto aqui vai dar um valor muito grande (em valor absoluto, naturalmente) e isto aqui entre aspas vai "explodir", vai dar um resultado gigantescamente grande. Se o valor de "q" for 1, nós vamos ter problema, porque o denominador é zero, então, esta fórmula nem se aplica. Esta fórmula pode, na verdade, ser útil quando o valor absoluto de "q" está entre zero e 1. O que vai acontecer neste caso, em que o valor absoluto da razão está entre 0 e 1? Não haverá problemas com o denominador, porque "q" não vale 1. Quando "q" tem um valor absoluto entre zero e 1, ele é zero vírgula alguma coisa, em módulo. Um número entre zero e 1, elevado a um expoente que é cada vez maior, resulta em algo cada vez menor e vai tendendo a zero. Estamos dizendo que todo este pedaço aqui, quando "n" é suficientemente grande, isto tende a zero. Pense, por exemplo, no número 0,5 no lugar da razão. 0,5 elevado a 10, 0,5 elevado a 100, 0,5 elevado a 1 milhão, vai ficando cada vez menor, de maneira que este pedaço da fórmula tende a zero. De maneira que isto tudo ficaria simplesmente igual a: "a" (que é este "a", que não muda, é um valor fixo), sobre 1 menos a razão (que também é um valor fixo, não muda). Aqui nós estávamos mudando quem? O expoente. Estávamos alterando o expoente, imaginando que ele fosse cada vez maior. Vamos tomar como exemplo a série geométrica começando por 1 e a razão 1/3. Então: 1. 1 vezes 1/3 me dá o próximo termo, que é 1/3, vezes 1/3 de novo me dá o próximo termo, que é (1/3)², ao multiplicar por 1/3 eu vou (1/3)³ e assim sucessivamente para sempre, infinitamente. O que temos aqui acima é a informação de que esta soma é uma série geométrica com a razão entre zero e 1, de modo que o resultado desta soma infinita é exatamente aquele que está na fórmula , que é "a", que é o primeiro termo, que é simplesmente 1, sobre 1 menos a razão. A razão, neste caso, é 1/3. Resolvendo esta conta, isto é simplesmente igual a 1 sobre 2/3. Efetuando a divisão das frações, eu tenho um inteiro vezes o inverso da segunda fração, que é 3/2. Isso dá exatamente 3/2. Pronto! Se eu somar estes infinitos termos infinitamente, vai dar 3/2. É isso aí. Até o próximo vídeo!
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