Conteúdo principal
Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 10
Lição 16: Vídeos opcionais- Definição formal do limite de uma sequência
- Prova de que uma sequência converge usando a definição formal
- Fórmula das séries geométricas finitas
- Raciocínio sobre a fórmula das séries geométricas infinitas
- Prova da série geométrica infinita como um limite
- Prova dos critérios de convergência para séries p
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Prova da série geométrica infinita como um limite
Neste vídeo, aplicamos limites à fórmula para a soma de uma série geométrica finita para obter a soma de uma série geométrica infinita. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Excelente material, muito interessante. Parabéns pelo trabalho! Eu preciso de uma ajuda pequena mas importante para mim sobre uma série com os seguintes dados:
I have one series formed with that numbers representing numbers with two bit sets in your binary representations:
[3,5,6,9,10,17,18,20,24,33,34,36,40...] and I observed that starting at your 4th element the development
for that series is(^ simbol is power):
9 = 2^0 + 2^3
10 = 2^1 + 2^3
12 = 2^2 + 2^3
17 = 2^0 + 2^4
18 = 2^1 + 2^4
20 = 2^2 + 2^4
24 = 2^3 + 2^4
33 = 2^0 + 2^5
34 = 2^1 + 2^5
36 = 2^2 + 2^5
40 = 2^3 + 2^5
48 = 2^4 + 2^5
........... and continue with that same rule.
I need get one function for general term for that series and sum of terms up Nth term.
What I can do that? Somebody can help me with that?(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA2G Em um vídeo anterior, nós escrevemos
a série geométrica, a soma dos termos
de uma progressão geométrica finita, por meio desta somatória e, consequentemente, demonstramos esta fórmula. Agora vem a questão: o que dizer sobre a soma
dos termos de uma progressão geométrica infinita, ou seja, uma série geométrica infinita? Estamos falando de somar infinitos termos e obter, possivelmente, um resultado finito, dependendo do valor da razão,
que é representado pela letra "q". Há mais de uma maneira de pensar
nessa soma infinita e uma delas é trabalhar com o limite, com "n", tendendo ao infinito desta somatória. Vou simplesmente copiar esta expressão e colar ali. Estamos falando do limite,
com ele tendendo ao infinito desta somatória, o que equivale, naturalmente, a aplicar
o mesmo limite para esta fórmula. Um limite com o "n" tendendo ao infinito desta fórmula, que eu também
vou simplesmente copiar e colar aqui. Como se comporta este limite nesta fórmula?
Eu sugiro que você pause o vídeo e pense um pouquinho. Inclusive, é interessante você pensar
nos valores da razão. O que acontece se a razão tiver
valor absoluto maior que 1? O que acontece se a razão
tiver valor absoluto igual a 1? O que acontece se a razão
tiver valor absoluto menor do que 1? Quando o valor absoluto da razão é maior do que 1, um número maior do que 1, elevado
a um expoente cada vez maior, porque estamos falando que "n" tende ao infinito, isto aqui vai dar um valor muito grande
(em valor absoluto, naturalmente) e isto aqui entre aspas vai "explodir",
vai dar um resultado gigantescamente grande. Se o valor de "q" for 1, nós vamos ter problema,
porque o denominador é zero, então, esta fórmula nem se aplica. Esta fórmula pode, na verdade, ser útil
quando o valor absoluto de "q" está entre zero e 1. O que vai acontecer neste caso, em que
o valor absoluto da razão está entre 0 e 1? Não haverá problemas com o denominador,
porque "q" não vale 1. Quando "q" tem um valor absoluto entre zero e 1,
ele é zero vírgula alguma coisa, em módulo. Um número entre zero e 1, elevado
a um expoente que é cada vez maior, resulta em algo cada vez menor e vai tendendo a zero. Estamos dizendo que todo este pedaço aqui, quando "n" é suficientemente grande, isto tende a zero. Pense, por exemplo, no número 0,5 no lugar da razão. 0,5 elevado a 10, 0,5 elevado a 100,
0,5 elevado a 1 milhão, vai ficando cada vez menor, de maneira que este pedaço da fórmula tende a zero. De maneira que isto tudo ficaria simplesmente igual a: "a" (que é este "a", que não muda, é um valor fixo), sobre 1 menos a razão
(que também é um valor fixo, não muda). Aqui nós estávamos mudando quem? O expoente. Estávamos alterando o expoente,
imaginando que ele fosse cada vez maior. Vamos tomar como exemplo a série geométrica
começando por 1 e a razão 1/3. Então: 1. 1 vezes 1/3 me dá o próximo termo, que é 1/3, vezes 1/3 de novo me dá o próximo termo, que é (1/3)², ao multiplicar por 1/3 eu vou (1/3)³ e assim sucessivamente para sempre, infinitamente. O que temos aqui acima é a informação
de que esta soma é uma série geométrica com a razão entre zero e 1, de modo que o resultado desta soma infinita
é exatamente aquele que está na fórmula , que é "a", que é o primeiro termo, que é simplesmente 1, sobre 1 menos a razão. A razão, neste caso, é 1/3. Resolvendo esta conta, isto é
simplesmente igual a 1 sobre 2/3. Efetuando a divisão das frações, eu tenho um inteiro vezes o inverso da segunda fração,
que é 3/2. Isso dá exatamente 3/2. Pronto! Se eu somar estes infinitos termos
infinitamente, vai dar 3/2. É isso aí. Até o próximo vídeo!