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Prova de que uma sequência converge usando a definição formal

Transcrição de vídeo

já afirmei no vídeo anterior que para esta sequência escrita expressamente desta forma o limite será menos um elevado a eni mais um sobre em e esta é uma forma de definir nessa função e esse limite conforme n tende ao infinito é igual a zero e faz sentido pois conforme m cresce mais e mais ainda que o numerador altere entre -1 e um ele vai ficando cada vez menor e menor mas nós ainda não provamos isso e é isso que faremos nesse vídeo então vamos lá isto apenas e na verdade somente ser para qualquer epson maior que zero existir um emmy maior que zero tal qual se nosso índice em for maior que o nosso m então o enézimo temos a nossa sequência estará a menos de epsom do limite dentro de apps a distância de zero o que isso quer dizer isso quer dizer que o nosso limite aqui é igual a zero se esse for nosso limite estamos dizendo que a série com o verde para zero então dado um edson ao redor de zero podemos dizer que este ponto é 0 mas épsilon este ponto é 0 - épsilon logo alegamos que o limite nesse caso é igual a zero é isso quer dizer que para qualquer epson precisamos encontrar um emmy tal que se ele for maior que m e se a distância entre a nossa sequência eo nosso limite for menor que edson isso significa que o valor da nossa sequência para um dado n estará entre os dois limites dentro desta área preenchida a partir de um certo em então se escolhemos um eniac veremos que qualquer eni maior que isso estará entre o limite mas como podemos provar isto é bom vamos pensar o que precisa acontecer para isso ser verdade então o que precisa ser verdade para o valor absoluto de a n nos 0 ser menor que epson simplificarmos esta é outra forma de dizer que o valor absoluto de a eni é menor que edson ea eni é apenas essa fração aqui então é uma outra forma de dizer que o valor absoluto de -1 elevado animais 1 sobre n tem que ser menor que épsilon e este um elevado a eni mais um é apenas uma forma de dizer que esse numerador altera entre números positivos e negativos porém se pegarmos valor absoluto disso que será igual a 1 sobre n isto será sempre positivo e deverá ser menor que épsilon agora então n será sempre positivo e começa em um número 1 e vai até o infinito então 11 sobre n menor que epson e agora podemos tirar recíproca dos dois lados teremos que investir o sinal ficando então que n será maior que 1 sobre o y e basicamente com isso concluímos a prova agora podemos dizer que para esta sequência em particular dado qualquer épsilon e eu vou estabelecer pm como sendo um sobre épsilon pois se ele for maior que m é o mesmo q n maior que 1 sobre épsilon então saberemos que isso daqui será verdade então o limite com certeza existe então aqui para o nosso teto em particular igual a 6 desde que nosso n seja maior que 1 sobre meio que é igual a 2 o m será uma função de epsom que será definido por qualquer preço o maior que zero então aqui para o edson é igual a meio do nosso m se encontrará em 2 que será bem aqui e conforme passamos para um emmy maior que 2 isso será verdade como exemplo para a eni igual a 3 estar aqui é igual a 4 ac n igual a 5 também e assim por diante infinitamente não estamos acreditando nisso apenas certamente vamos bem isso aqui fizemos a prova então podemos ter quero outro falou de edson que se encaixa aqui sendo então m igual a 1 sobre este novo valor para qualquer n maior que aquilo e isto será verdade este é o caso dessa sequência logo podemos afirmar que essa sequência conversa zero
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