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Prova dos critérios de convergência para séries p

Transcrição de vídeo

você pode reconhecer que nós temos aqui em amarelo as formas geral de uma série p o que vamos fazer neste vídeo é ver quais são as condições necessárias para que essa série p seja convergente e para que possa ser uma série p por definição o pv vai ser maior do que zero então vamos entender um pouco sobre esses gráficos aqui ele vai nos ajudar a entender quando essa série p converge então nós temos aqui que neste gráfico a curva pode ser definida como y é igual a 1 sobre x é levado à p e eu estou dizendo em termos gerais porque pelé maior do que zero nós sabemos que vai ser uma função de crescente assim mais uma vez nós temos aqui que y é igual a 1 sobre x é levado à p e agora o que temos nessa parte sombreado aqui em relação ao tempo a semana do eixo x positivo é integral é integral de 1 até o infinito é integral em própria do x do pdx1 de modo que nós temos a área nessa parte sombreada em branco ambos os gráficos o que nós queremos esperançosamente é ver que há uma relação de convergência ou divergência entre essa série p e essa integral bem aqui porque quando olhamos para este gráfico vemos que esta série p pode ser visualizada como uma aproximação de rima superior desta área o que eu quero dizer com isso bem vamos pensar sobre a área desse primeiro retângulo a largura 1 ea altura é um sobre um é levado até então este seria o primeiro termo dessa série b e isso seria é apenas as escalas do eixo x e do eixo y que não são os mesmos e este outro retângulo aqui a sua área seria um sobre dois elevado ap nesta área seria de 1 sobre três e levado à p assim a soma das áreas desses retângulos é o que essa série b é e você pode ver que a área desses e tangos estão cobrindo mais do que a área sob a curva e assim sabemos que a área sob a curva que vai ser maior do que zero esta série p mas é maior do que esta integral maior do que a área sob a curva mas se adicionarmos 1 para a área sob a curva agora nós não estamos falando apenas sobre a área branca nós estamos também falando sobre essa área vermelha aqui então a nossa série p vai ser menos que isso porque o primeiro termo na nossa série p é igual a 1 em seguida todos os outros termos você pode ver como a aproximação de reino menor da curva você pode ver que eles se encaixam sobre a curva eles deixam alguma área livre então e isto vai ser menor do que essa expressão aqui agora vamos pensar sobre o que acontece se nós sabemos que esta bem aqui diverge assim se esta integral em própria divergem ela não conversa para um valor finito bem a série p é maior do que isso por isso se este diverge em seguida também vai divergir de forma similar se convergem a mesma integral sobre esse valor aqui se isso converge ela vai ter um valor finito assim mais um está a convergir de modo que ou a série b também deve convergir ou ela deve ir para um valor finito esta é apenas um teste da integral quando nós pensamos sobre teste de convergência e divergência só estou certificando que nós vamos ter um agradável entendimento conceitual e não apenas aplicando cegamente o teste integral e você pode também pensar de outra forma se a série b converge então com certeza essa integral vai convergir e se a série p diverge então com certeza essa expressão bem que vai divergir minhas integrais divergem assim podemos dizer que a série b converge se se e somente se esta integral bem aqui convergir então descobrir as condições para que o pp faz de uma série p convergente então vamos lá para baixo para ver alguns elementos que vamos ajudar a pensar sobre o que tem que ser verdadeiro para que uma integral convirja então vou escrever lá aqui então nós temos a integral de 1 para o infinito integral em própria ao longo de sobre x é levado à p d x essa é a mesma coisa que o limite de m que se aproxima do infinito é integral de van até m x elevado apenas negativo de x e vamos nos focar nisso aqui basta lembrar que vamos ter de tomar o limite de quando o m se aproxima do infinito e eu não quero ter que continuar a escrever isso outra e outra vez mas vamos pensar sobre o que é isso há um par de condições nós sabemos que p é maior do que zero mas há duas situações bem aqui é uma situação em que pr é igual a um se pr é igual a um então este é apenas o integrante de um sobre x então essa coisa que vai ser a integral do lugarejo natural de x e nós vamos passar de um para m então este seria o logaritmo natural dm - um lugarejo natural de um bem elevada potência zero é um - um logaritmo natural de um mas logaritmo natural de um é apenas 0 portanto nesse caso especial acho que podemos dizer quando o peixe for igual a 1 ess integral de 1 para m vem para baixo agora vamos pensar sobre a situação onde p não é igual a um bom nós estamos com espécie de que aprendemos em diferenciação básica então nós vamos incrementar que o expoente de modo que x elevada - p mais um e podemos até mesmo escrever que como x é levado apenas negativo que é a mesma coisa com um negativo mais um então poderemos dividir por isso 1 - p e nós estamos indo de 1 para m por isto este valor aqui vai ser igual a emi é levada a 1 - p sobre com menos p - um é levada 1 - p sobre 1 - p então agora vamos indicar os limites então lembre-se dessa integral não vamos pegar onde elevado ou integral definida aqui mas depois queremos levar o limite aqui como em se aproxima do infinito do logaritmo natural de m benz m vai de forma ilimitada ao infinito bem o logaritmo natural de que ainda está em curso também irá para o infinito então quando pr é igual a um essa coisa não irá convergir essa coisa é apenas limitado então quando pegou a 1 a série de verde então nós sabemos disso então vamos pensar sobre isso o limite de quando m se aproxima do infinito desta expressão bem aqui ea única parte que realmente é afetada pelo limite essa parte que tem um emmy então poderíamos tomar este sobre 1 - p fora deixe poderíamos dizer um sobre 1 - p vezes o limite quando ele se aproxima do infinito dm é levada 1 - p depois separadamente podemos subtrair uma elevada 1 - p para qualquer expoente é apenas um sobre 1 - p isso está certo sim não importa se expande que eu coloquei aqui um para qualquer expoente vai ser um é uma coisa interessante sobre se converge ou não é esta parte da expressão e tudo vai depender se e chies point é positivo ou negativo se 1 - p é maior do que zero se eu vou infinito e estou tendo nessa coisa um expoente positivo então isso vai divergir então nessa situação diverge adicionar prepara ambos os lados é a mesma coisa que um maior do que pop100 do menor do que então nós vamos estiver g até agora sabemos que vai ser maior do que zero e vimos ip é um lance é menos de 1 vamos divergir mas se expande bem aqui é negativo se 1 - p é menor do que 0 bem vamos pensar sobre isso então isso vai ser um sobre m para alguns expoentes positivos é uma maneira de pensar sobre isso assim como ele se aproxima do infinito esta coisa toda vai se aproximar de zero portanto esta é realmente uma situação um dia' série converge onde chegamos a um valor definido então adicionamos preparamos os lados temos que um é menor do que o pp que converge então você tem isso nós estabelecemos essa integral vai convergir apenas em situações em que pierre do que um tempo maior do que 1 converge esse zero é inferior à p é menor ou igual a 1 então de ver gigi e esses são é exata causa disso então a nossa série p converge se e somente se a integral convergir e assim estas mesmas restrições exatas se aplica a nossa série p original a nossa série p original converge apenas na situação onde é maior do que 1 então ela conversa zero é inferior a ele é menor ou igual a 1 então a série diverte
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