2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 1a

RKA4JL - No instante t uma partícula está se movimentando no plano xy e a sua posição é dada por x(t) na posição x e y(t) na posição y onde x(t) e y(t) não são dadas explicitamente. Para ter maior ou igual a zero, a derivada de x em relação ao tempo é 4t mais 1 e a derivada y em relação o tempo é o sen (t²). No instante t igual a zero, x(0) é igual a zero e y(0) é igual a -4. Determine a velocidade escalar (quando ele pede a velocidade escalar, nós sabemos que a velocidade é a grandeza da vetorial. Quando fala "velocidade escalar", ele está querendo saber apenas a intensidade da velocidade, ou seja, ele está pedindo na realidade o módulo da velocidade) da partícula no instante t igual a 3 e determine sua aceleração vetorial no instante igual a 3. Então vamos resolver passo a passo. Primeiro, qual é a velocidade vetorial do móvel? A velocidade vetorial do móvel é dada pela derivada na direção x(t) vezes o vetor unitário 𝓲 mais a derivada de y em relação ao tempo na direção do vetor unitário ĵ. Ora, ele já deu aqui a derivada de x em relação a t e já deu a derivada de y em relação ao tempo. Portanto, a velocidade dele, vetorial, fica sendo igual a 4t mais 1 na direção î e somado com sen (t²) na direção ĵ. Se queremos saber a velocidade em um determinado instante, vamos substituir nesse instante. Então nós temos aqui na direção î 4 vezes 3, 12, mais 1, 13 î e mais sen (3²), que vai ser sen 9 na direção ĵ. Lembre-se que esse valor é dado em radianos. Quando estamos fazendo derivadas sempre estamos tratando em radianos e não em graus. Agora, como queremos o módulo da velocidade no instante 3, nós fazemos a raiz quadrada da velocidade na direção x² mais a velocidade na direção y². Como podemos utilizar a calculadora, vamos utilizá-la para achar esse resultado. Primeiro pegamos o 9, tiramos o seno e o elevamos ao quadrado. Somamos com 13², que é 169, e tiramos agora a raiz quadrada, que vai dar 13,007. Então esse valor, a magnitude da velocidade é 13,007. Então resolvemos essa primeira parte da velocidade. Agora vamos achar a aceleração. A aceleração em relação ao tempo vai ser a segunda derivada da posição em relação ao tempo vezes o vetor unitário î mais a derivada segunda de y em relação ao tempo na direção ĵ. Ora, nós temos a primeira derivada, então basta derivarmos novamente. Então temos que a aceleração será a derivada segunda, que vai ser 4 apenas, vezes o vetor unitário î mais a derivada de seno de (t²) vai ser 2 vezes t vezes o cos (t²). Na direção ĵ utilizamos a regra da cadeia. Agora, se queremos para um determinado instante 3, nós vamos ter que a aceleração no instante 3 aqui não depende do tempo, portanto será 4 vezes î mais 2 vezes 3 vezes cos (3²), que é 9, e isso tudo na direção ĵ. Podemos utilizar a calculadora, portanto podemos fazer essa conta. Ficamos com 4 na direção do vetor unitário î e agora vamos pegar 9, cosseno, vezes 3 vezes 2. -5,467. 5,467 na direção ĵ e aqui nós temos a aceleração, que é uma grandeza vetorial no instante 3, e aqui nós temos a velocidade, o módulo da velocidade, ou seja, da maneira que ele pediu, que é a velocidade escalar. Com isso nós pegamos a intensidade da velocidade e não suas componentes vetoriais da maneira como deve ser colocada, uma vez que a velocidade é uma grandeza vetorial, mas nesse caso estamos dando um tratamento escalar e queremos apenas a sua intensidade, portanto temos a resposta da primeira parte e a resposta da segunda parte. Espero que esse vídeo tenha sido útil!