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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 11
Lição 2: Cálculo Avançado BC 2011- 2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 1a
- 2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 1 (b e c)
- 2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 1d
- 2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 3a
- 2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 3 (b e c)
- 2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 6a
- 2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 6b
- 2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 6c
- 2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 6d
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2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 1a
Vetores de velocidade e de aceleração de partículas. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - No instante t uma partícula está
se movimentando no plano xy e a sua posição é dada por x(t) na posição x
e y(t) na posição y onde x(t) e y(t) não são dadas explicitamente. Para ter maior ou igual a zero,
a derivada de x em relação ao tempo é 4t mais 1 e a derivada y em relação o tempo é o sen (t²). No instante t igual a zero, x(0) é igual a zero
e y(0) é igual a -4. Determine a velocidade escalar (quando ele pede a velocidade escalar, nós sabemos que a velocidade
é a grandeza da vetorial. Quando fala "velocidade escalar", ele está querendo saber apenas a intensidade da velocidade, ou seja, ele está pedindo na realidade
o módulo da velocidade) da partícula no instante t igual a 3 e determine sua aceleração vetorial
no instante igual a 3. Então vamos resolver passo a passo. Primeiro, qual é a velocidade vetorial do móvel? A velocidade vetorial do móvel
é dada pela derivada na direção x(t) vezes o vetor unitário 𝓲 mais a derivada de y em relação ao tempo
na direção do vetor unitário ĵ. Ora, ele já deu aqui a derivada de x
em relação a t e já deu a derivada de y em relação ao tempo. Portanto, a velocidade dele, vetorial, fica sendo igual a 4t mais 1
na direção î e somado com sen (t²) na direção ĵ. Se queremos saber a velocidade em um determinado instante, vamos substituir nesse instante. Então nós temos aqui na direção î 4 vezes 3, 12, mais 1, 13 î e mais sen (3²),
que vai ser sen 9 na direção ĵ. Lembre-se que esse valor é dado em radianos. Quando estamos fazendo derivadas
sempre estamos tratando em radianos e não em graus. Agora, como queremos o módulo da velocidade
no instante 3, nós fazemos a raiz quadrada da velocidade na direção x² mais a velocidade na direção y². Como podemos utilizar a calculadora,
vamos utilizá-la para achar esse resultado. Primeiro pegamos o 9, tiramos o seno
e o elevamos ao quadrado. Somamos com 13², que é 169, e tiramos agora a raiz quadrada,
que vai dar 13,007. Então esse valor, a magnitude da velocidade
é 13,007. Então resolvemos essa primeira parte da velocidade. Agora vamos achar a aceleração. A aceleração em relação ao tempo
vai ser a segunda derivada da posição em relação ao tempo vezes o vetor unitário î mais a derivada segunda
de y em relação ao tempo na direção ĵ. Ora, nós temos a primeira derivada, então basta derivarmos novamente. Então temos que a aceleração será a derivada segunda,
que vai ser 4 apenas, vezes o vetor unitário î mais a derivada de seno de (t²) vai ser 2 vezes t vezes o cos (t²). Na direção ĵ utilizamos a regra da cadeia. Agora, se queremos para um determinado instante 3, nós vamos ter que a aceleração no instante 3
aqui não depende do tempo, portanto será 4 vezes î mais 2 vezes 3 vezes cos (3²), que é 9, e isso tudo na direção ĵ. Podemos utilizar a calculadora,
portanto podemos fazer essa conta. Ficamos com 4 na direção do vetor unitário î e agora vamos pegar 9, cosseno,
vezes 3 vezes 2. -5,467. 5,467 na direção ĵ e aqui nós temos a aceleração,
que é uma grandeza vetorial no instante 3, e aqui nós temos a velocidade,
o módulo da velocidade, ou seja, da maneira que ele pediu,
que é a velocidade escalar. Com isso nós pegamos a intensidade da velocidade
e não suas componentes vetoriais da maneira como deve ser colocada,
uma vez que a velocidade é uma grandeza vetorial, mas nesse caso estamos dando um tratamento escalar
e queremos apenas a sua intensidade, portanto temos a resposta da primeira parte
e a resposta da segunda parte. Espero que esse vídeo tenha sido útil!