2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 3 (b e c)

RKA2G - Alternativa B: A região R é rotacionada sobre o eixo "x" (seria uma rotação mais ou menos nesta forma, conforme indica a seta), formando um sólido. O sólido ficaria mais ou menos assim, também, parecido com um megafone, sendo que aqui é o eixo "x", como aqui, e aqui o eixo "y". Se nós rotacionarmos esta região R, nós vamos formar esse megafone, ou como se fosse um abajur. Encontre o volume V desse sólido em termos de "k". Em primeiro lugar, vamos desconsiderar esta secção desse megafone, sendo que esta secção tem uma forma de circunferência com um raio "r". A área dessa circunferência é dada por πr². Contudo, o nosso "r", na verdade, é a função "x". Desta forma, teremos que a área é πr², sendo que "r" é a função "x", logo, a área é igual a π vezes ("e" elevado a 2x)². Portanto, o volume deste sólido seria a soma, isto é, a integral de todas estas secções de "r" variado que nós podemos fazer, sendo que "r" varia conforme a função de "x". Vamos escrever isso. Temos aqui que o volume é a integral do valor de zero até "k", que seria aqui, ou seja, integral de zero a "k" da função π vezes "e" elevado a 4x. Uma vez que temos 2x elevado a 2, multiplicamos aqui: 4x, em função de "x". Agora vamos adotar uma estratégia aritmética. Acompanhe aqui no rascunho. Você concorda que "x" é a mesma coisa que 4x/4? Pois bem, nós vamos aplicar esse conceito aqui. Logo, vamos multiplicar por 4 no numerador e dividir por 4 no denominador, ficando 4π/4. Ou, de outra forma, π/4, que multiplica 4e elevado a 4x. Por que tudo isso? Para nós podermos transformar isto aqui nisto. Uma vez que π/4 é uma constante, nós podemos removê-lo da integral, obtendo que o volume será π/4 vezes a integral de zero a "k" da função 4 vezes "e" elevado a 4x em função de "x". Se você considerar a derivado de "e" elevado a 4x, nós teremos 4 vezes "e" elevado a 4x. Desta forma, podemos raciocinar que a antiderivada ou a integral desta função seria equivalente, ou seja, o volume que é a integral desta função, é equivalente a π/4 vezes "e" elevado a 4x, variando de zero a "k". Distribuindo esta função, teremos que "e" elevado a 4x, quando "x" é "k", ficaremos com "e" elevado a 4k. "e" elevado a 4x, quando "x" for zero. Qualquer coisa elevada a zero é 1. Então, ficamos com "e" elevado a 4k - 1. Esta é a expressão do volume, conforme pediu a alternativa B. Isso nós acabamos, agora vamos para a alternativa C. O volume V encontrado na parte B muda conforme "k" muda. Se dk/dt = 1/3, determine dv/dt quando k = 1/2. Nós vamos direto para a regra da cadeia, que nos estipula que dv/dt é igual a dv/dk vezes dk/dt. Esta expressão dk/dt já foi fornecida por nós. Nós sabemos que dk/dt = 1/3. E a expressão dv/dk nós podemos encontrar com base na fórmula encontrada na alternativa B, que é o volume, a derivada do volume. Desta forma, a derivada do volume, que é dv/dk, seria π/4 vezes "e" elevado a 4k - 1. Como é a derivada disto? Derivando, cortamos este 1 e temos a regra do tombo, em que este 4 vai cair aqui na frente do "e". Logo, a derivada de "v" em função de "k" é π/4 vezes 4 vezes "e" elevado a 4k. Cortando este 4 no numerador com este 4 no denominador e levando em conta o valor fornecido de "k" como 1/2, nós teremos que a derivada dv/dk é igual a π vezes "e" elevado a 4 vezes 1/2, que é a mesma coisa que "e" elevado a 2. Pronto, agora nós temos o valor dv/dk e temos o valor dk/dt. E podemos encontrar o valor dv/dt, que ficará assim: dv/dt = π vezes e² sobre 3, que é a mesma coisa que multiplicarmos por 1/3. E é isso, terminamos!