Cálculo Avançado BC 2015 2d

RKA2G - Encontre a distância total percorrida pela partícula do tempo t = 0 para t = 1. Lembre-se sempre que eles não disseram para encontrar o deslocamento total. Eles disseram para achar a distância total percorrida pela parícula. Se algo vai para a direita por 1 e depois passa por 1, sua distância é de 2. E depois, se eles voltarem aqui... Deixe-me desenhar uma linha mais direta... Eles voltaram para o ponto de partida original. Então, esta distância seria o quê? A raiz quadrada de 2. O deslocamento seria zero. A partícula estaria onde ela começou a se deslocar. Para a distância, seria 1 mais 1 mais a raiz quadrada de 2. Então, como descobrimos a distância total neste cenário? Vou apagar isto, uma vez que não é relevante para o problema. É apenas um exemplo para nos lembrar que estamos falando sobre a distância. A distância é igual à taxa vezes o tempo, ou é igual à velocidade vezes o tempo. Em uma quantidade muito pequena de tempo, se você quiser descobrir a distância, você poderia tomar sua velocidade, a magnitude da função de velocidade. Se você tomou a velocidade e multiplicá-la por uma pequena mudança no tempo, isso vai dar uma infinitamente pequena mudança de distância, sobre essa mudança infinitamente pequena no tempo. E se você quisesse encontrar a distância total sobre uma mudança não infinitesimal de tempo? Você poderia integrar. Você pode integrar essas pequenas mudanças no tempo. Neste caso, de t = 0 a t = 1. Esta será a expressão da distância total. Bem, o que isto vai ser? Isto vai ser igual ao intervalo de 0 a 1. Na última parte do problema, já temos uma expressão para a velocidade. A velocidade que vimos foi este negócio aqui. Então, será igual à raiz quadrada... A raiz quadrada do componente "x" da velocidade. Cosseno quadrado ao quadrado... Vou colocar este pequeno parêntese no exterior. Mais o componente "y" da velocidade quadrada. A taxa de mudança de "y" em relação ao tempo ao quadrado. Mais "e" elevado a 0,5t. Esta é a taxa de mudança de "y" em relação ao tempo, ou o componente "y" da velocidade. Vamos acertar isso. Esta é a expressão para a velocidade como uma função do tempo. Você multiplica aqueles vezes dt. Vamos integrar tudo isto e vai nos dar o total. Isto dará a distância total. A nossa sorte é que podemos usar a calculadora nesta parte do exame. Vamos avaliar isto, vou limpar... e, então, vamos avaliar. Vamos para a matemática. Primeiro, a função integral. Isto é para avaliar integrais definidas e queremos avaliar a raiz quadrada. Um parêntese aberto... Eu acho que vou ter muitos parênteses aqui, mas veremos se podemos fazer. Assim, a raiz quadrada de... Eu vou utilizar o "x" como variável de integração. Cosseno de "x" ao quadrado. É este parêntese. E eu preciso de outro parêntese: quadrado quadrado. Mais... Este negócio ao quadrado. Bem, isto já resolvemos antes. É o mesmo que "e" elevado a "t". Se elevamos algo a 0,5t e, então, elevamos ao quadrado, duas vezes 0,5t é apenas "t". Eu posso fazer isto, se eu quiser. Você poderia simplesmente digitar tudo isto, se quiser. Mais 2e elevado à variável de integração, que é "x". "e" elevado a "x". Estamos perto disso, então, eu fecho a raiz quadrada. Eu fiz isto certo? Isto fecha com isso, sim, tudo bem. A variável de integração é "x" e eu estou integrado de zero a 1. Agora vamos deixar a calculadora funcionar um pouco. E o resultado é, aproximadamente, 1,595. Então é isso. Aproximadamente 1,595. A distância total percorrida pela partícula no tempo de zero a 1 é este resultado.