Cálculo Avançado BC 2015 6a

RKA4JL - A série de Maclaurin para a função f é dada por este somatório e converge a f(x) para módulo de x menor do que R, onde R é o raio de convergência da série de Maclaurin. Use o Teste da Razão para determinar R. Você tem uma série que vai de 1 até infinito de aₙ e no Teste da Razão nós fazemos o limite para n tendendo a infinito de aₙ₊₁ sobre aₙ e verificamos se ele converge para um determinado limite. Se limite for menor do que 1, significa que a série converge. Então vamos verificar esse limite. Nós temos o limite de n tendendo a infinito do módulo de aₙ₊₁, que é -3, elevado a... (n mais 1 menos 1) é só n vezes xⁿ⁺¹ sobre (n mais 1). Embaixo nós vamos ter aₙ, que é -3ⁿ⁻¹ vezes xⁿ sobre n. Então aqui nós pegamos o primeiro, multiplicamos pelo inverso do segundo e nós temos o limite de n tendendo a infinito de ((-3ⁿ) vezes xⁿ⁺¹) sobre n mais 1 vezes n sobre (-3ⁿ⁻¹) vezes xⁿ. xⁿ e xⁿ⁺¹ podemos simplificar e sobra somente x aqui em cima. Nós temos (-3ⁿ) e (-3ⁿ⁻¹), então vai sobrar -3 em cima. Então nós temos o limite de n tendendo a infinito do módulo de (-3 em cima vezes x vezes n) sobre (n mais 1). Aqui você já pode verificar que tanto n quanto (n mais 1) estão na mesma potência, portanto, quando tende a infinito, isso aqui vai tender a -3 vezes x. Mas podemos colocar de outra forma para ficar mais claro. Fica o limite de n tendendo a infinito... Como é o módulo, vamos tirar daqui o módulo de 3x (deixe-o do lado de fora) vezes e vamos dividir o numerador e o denominador por n, então fica 1 sobre (1 mais 1/n). 1 sobre n, quando n tende a infinito, isso vai ser zero e obviamente isso aqui vai ser 1. Então esse limite vai ser o módulo de 3x e para que a série seja convergente, esse valor tem que ser menor do que 1, ou seja, 3 vezes o módulo de x tem que ser menor do que 1, então o módulo de x tem que ser menor do que ⅓. Diante desse resultado podemos afirmar que o raio de convergência da série de Maclaurin é igual a ⅓.