Exemplo de cálculo de resíduo

RKA10MP – Vera aluga bicicletas para turistas. Ela registrou altura em centímetros de cada cliente e o tamanho do quadro em cm da bicicleta que o cliente alugou. Depois de plotar seus resultados, Vera notou que a relação entre as duas variáveis era razoavelmente linear, então ela usou os dados para calcular a seguinte equação de regressão de mínimos quadrados, a fim de prever o tamanho do quadro da bicicleta a partir da altura do cliente. Esta é a nossa equação e, antes de olhar para a questão, vamos pensar no que ela fez. Então ela tinha vários clientes, e registrou altura do cliente e o tamanho do quadro da bicicleta que esta pessoa escolheu. Plotando estes dados, ela obteria algo assim. No eixo horizontal, a gente tem a altura do cliente em cm e no eixo vertical, a gente tem o tamanho do quadro em cm. Cada ponto no gráfico representa um cliente. Este, por exemplo, é um cliente que tinha 100 cm de altura e alugou uma bicicleta com um quadro de aproximadamente 30 cm. Então ela fez uma regressão de mínimos quadrados traçando uma reta que tenta se ajustar aos dados. E esta reta tenta minimizar o quadrado da distância entre ela e os pontos no gráfico. Então, a regressão de mínimos quadrados daria algo assim. Esta é só uma estimativa grosseira do que ela seria. E a equação desta reta é Ŷ = ⅓ + ⅓x. Você pode ver isso como uma forma de modelar esta relação e fazer previsões. Se eu tiver um novo cliente, posso pegar a altura, substituir no "x" da equação e descobrir qual tamanho de quadro ele possivelmente vai alugar. Então, eles perguntam: Qual é o resíduo de um consumidor com uma altura de 155 cm que aluga uma bicicleta com um quadro de 51 cm? Como é que a gente pensa sobre isso? O resíduo é a diferença entre o que foi observado e o que a linha de regressão prediz. Então, a gente pode falar que o resíduo é o observado menos o previsto. Se o previsto for maior que o observado, o nosso resíduo vai ser negativo. Caso contrário, se o previsto foi menor que o observado, a gente vai ter um resíduo positivo. Aqui no enunciado, eles falam que um cliente de 155 cm alugou um quadro de 51 cm. Então, o nosso valor observado é 51. Mas qual é o valor previsto? É aí que a gente pode usar a equação da regressão. Basta pegar a altura do cliente e substituir no "x" da equação. A gente pode falar, então, que o previsto é igual a ⅓ mais ⅓ de 155. E isso é igual a ⅓ mais 155/3, igual a 156/3, que dá 52. Então, o valor previsto pela regressão é 52. Subtraindo esses valores, a gente chega a -1. Olhando aqui no gráfico, a gente pode plotar este cliente. Ele tem uma altura de 155 e o quadro tem 51 cm, então ele estaria mais ou menos aqui. E a distância entre a linha e o ponto é o resíduo. Como o ponto está abaixo da linha, este resíduo vai ser negativo, como a gente viu, igual a -1. Vamos dar um zoom nesta parte do gráfico para ver melhor? Então, aqui seria a reta, e aqui embaixo seria o nosso ponto. O resíduo é a distância entre a reta e o nosso ponto que, neste caso, é -1.