Teste qui-quadrado de associação (independência)

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre como usar a estatística qui-quadrado para realizar um teste de associação. Ou seja, um teste de independência entre variáveis. Bem, já estamos familiarizados com a estatística qui-quadrado. Porém, se você ainda não estiver, eu aconselho que neste momento você assista a outros vídeos sobre isso para revisar. Além disso, a gente já fez alguns testes de hipótese com a estatística qui-quadrado e nós até fizemos algum teste de hipótese com base em tabelas bidirecionais. Mas, agora, nós vamos estender isso pensando em um teste qui-quadrado para a associação entre duas variáveis. Bem, para exemplificar isso, vamos dizer que suspeitamos que o comprimento do pé de alguém está relacionado com o comprimento da mão. Ou seja, que essas coisas não são independentes. Bem, o que podemos fazer é configurar um teste de hipótese. E, lembre-se, a hipótese zero em um teste de hipótese é para sempre assumir nenhuma relação. Sendo assim, podemos dizer que aqui não há associação. Ou seja, sem associação entre o comprimento do pé e o comprimento da mão. Outra forma de pensar sobre isso é que eles são independentes. E muitas vezes o que estamos fazendo é chamado de teste qui-quadrado de independência. Agora, a nossa hipótese alternativa é a nossa suspeita. Ou seja, que existe uma associação. Sendo assim, o comprimento do pé e o comprimento da mão não são independentes. Sendo assim, o que podemos fazer é ir até uma população e pegar uma amostra aleatória dessa população. Vamos dizer, então, que pegamos uma amostra aleatória de 100 pessoas e para todas as essas 100 pessoas nós observamos se a mão direita delas é mais longa, se a mão esquerda é mais longa ou se ambas as mãos são iguais. Também fizemos isso com os pés. E aí, colocamos estes dados em uma tabela. E estes são os dados que realmente encontramos. Agora, vale a pena pensar sobre o que acabamos de fazer por um segundo, pois o que fizemos é diferente de um teste qui-quadrado de homogeneidade. No teste qui-quadrado para homogeneidade, nós pegamos a amostra de duas populações diferentes, onde olhamos para dois grupos diferentes e vemos se a distribuição de uma certa variável entre aqueles dois grupos diferentes são iguais. Aqui, estamos apenas pegando uma amostragem de um grupo, mas estamos pensando sobre duas variáveis diferentes para este grupo. Estamos pensando no comprimento dos pés e estamos pensando no comprimento das mãos. Para que você possa ver isso, aqui temos 11 pessoas que tiveram suas mãos direitas mais longas e seus pés direitos mais longos. 3 pessoas tiveram a mão direita maior, mas com o pé esquerdo maior. E aí, essas 8 pessoas tendo a mão direita maior, mas com os dois pés sendo iguais. Da mesma forma, tivemos 9 pessoas as quais seu pé esquerdo e a mão esquerda eram mais longos. 2 pessoas tendo a mão esquerda mais longa, mas o pé direito sendo mais comprido. E aí, podemos passar por tudo isso. Mas, para fazer nosso teste de qui-quadrado, precisamos do valor esperado de cada um destes grupos de dados. E isso se assumirmos que a hipótese zero é verdadeira. Ou seja, que não há associação entre o comprimento do pé e da mão. Então, para nos ajudar a fazer isso, eu vou fazer uma coluna com um total aqui. Também, um total de nossas linhas aqui. Vamos traçar uma linha aqui então. Qual é o número total de pessoas que têm uma mão direita mais comprida? Bem, vai ser 11 + 3 + 8 = 22. Qual é o número total de pessoas que têm a mão esquerda mais comprida? 2 + 9 + 14 = 25. E qual o número total de pessoas cujas mãos têm o mesmo comprimento? 12 + 13 + 28 = 53. Aí, ao observar o total aqui nesta coluna, nós vamos ter 22 + 25 = 47 mais 53 que é 100. Temos 100, bem aqui. Agora, se a gente somar o número de pessoas que têm o pé direito maior, teremos 11 + 2 + 12 = 25. Agora, com o pé esquerdo maior 3 + 9 + 13 que também é 25. Aí podemos somar isso aqui e teremos 50. Ou você pode chegar aqui e falar: calma aí, 25 + 25 é 50. Precisamos de mais quanto para a gente ter 100? Bem, isso vai ser igual a 50, certo? Agora, para descobrir estes valores esperados, lembre-se, nós vamos descobrir os valores esperados assumindo que a hipótese zero é verdadeira. E vamos supor que estas distribuições são independentes. Ou seja, que o comprimento dos pés e o comprimento das mãos são variáveis independentes. Bem, se eles são independentes que é o que estamos assumindo, então nossa melhor estimativa é que 22% tem uma mão direita mais longa e que 25% tem o pé direito mais comprido. E assim, de 100 você esperaria 0,22 veze 0,25 vezes 100 para ter tanto a mão direita, quanto o pé direito sendo maiores. Eu estou apenas multiplicando as probabilidades que é o que fazemos quando as variáveis são independentes. Sendo assim, 0,22 vezes 0,25, vejamos, 1/4 de 22 é 5,5. Então, isso é igual a 5,5. Agora, qual o número você esperaria para ter a mão direita maior, mas o pé esquerdo sendo mais longo? Bem, isso seria 0,22 vezes 0,25 vezes 100. Bem, já calculamos isso. Então, temos 5,5. Agora, vamos descobrir o número esperado que teria uma mão direita sendo maior, mas os dois pés tendo o mesmo comprimento. Podemos multiplicar 22 de 100 com 50 de 100, com 100, que vai ser metade de 22 que é igual a 11. E podemos continuar. Este valor aqui vai ser 0,25 vezes 0,25 vezes 100. 25 vezes 25 é 625. Então, isso é 6,25. Este valor bem aqui vai ser 0,25 vezes 0,25 vezes 100 que novamente é 6,25. E, então, este valor bem aqui vai ser 0,25 vezes 50 vezes 100 que é 12,5. Também poderíamos ter dito que isto mais isto, mais isto, tem que ser igual a 25. Então, isto aqui seria 12,5. Este valor esperado podemos descobrir porque 5,5 mais 6,25, mais isto vai ser igual a 25. Então, vamos ver 5,5 + 6,25 é 11,75. 11,75 + 13,25 = 25. A mesma coisa aqui. Isto é 13,25. Porque 11,75 + 13,25 = 25. Agora, se a gente somar estes dois, vamos encontrar 26,5. 26,5 mais o que é igual a 53? Bem, isso é igual a outros 26,5. Agora que descobrimos todos os valores esperados, é uma boa hora para testar as condições. A primeira condição que temos, é se a amostra que pegamos é uma amostra aleatória. Então, vamos supor que fizemos isso. A segunda condição é que o valor esperado para qualquer um dos grupos de dados seja pelo menos igual a 5. E podemos ver que todos os nossos valores esperados são pelo menos iguais a 5. Os pontos de dados reais que encontramos não precisam ser iguais a 5. Então, está tudo bem que temos um 2 aqui, porque o valor esperado aqui é 5 ou maior. Agora, a última condição é a condição de independência. Ou seja, temos que ter uma amostra com reposição ou pelo menos que o tamanho da nossa amostra não seja maior que 10% da população. Então, vamos assumir que isto aqui também aconteceu. Supondo que atendemos todas essas condições, estamos prontos para calcular a nossa estatística qui-quadrado. Então, vamos fazer isto aqui. Para cada grupo de dados, vamos encontrar a diferença entre o grupo de dados e o valor esperado, elevar ao quadrado e, depois, dividir pelo valor esperado, e fazer um somatório aqui com tudo isto. Então, inicialmente, temos 11 menos o valor esperado que é 5,5, isto elevado ao quadrado, sobre o valor esperado. Ou seja, 5,5. Eu fiz este teste, agora vou fazer este aqui. Portanto, temos (3 - 5,5)² / 5,5. Agora, eu vou fazer este teste, (8 - 11)² / 11. Vou fazer este agora. (2 - 6,25)² / 6,25. E vou continuar fazendo isso. Eu vou fazer isso com todos os 9 conjuntos de dados. Eu já calculei isso antes aqui para economizar tempo. Sendo assim, se você fizer isso para todos os 9 grupos de dados, você vai encontrar uma estatística qui-quadrado igual a 11,942. Beleza? Agora, antes de calcularmos o valor "p", vamos ter que pensar sobre quais são os nossos graus de liberdade. Nós temos uma tabela 3 por 3 aqui. Então, uma forma de fazer este cálculo é pegar o número de linhas menos 1, vezes o número de colunas menos 1. Isso vai ser 2 vezes 2, que é igual a 4. Outra forma de pensar sobre isso é que se você souber 4 destes grupos de dados e você souber os valores totais, então, você pode descobrir os outros 5 grupos de dados. Ok, agora estamos prontos para calcular o valor "p" e você pode fazer isso usando uma calculadora ou usando uma tabela qui-quadrado. Mas vamos dizer que fizemos isso em uma calculadora e encontramos um valor "p" de 0,018. Apenas para gente se lembrar um pouco sobre o que significa isso, esta é a probabilidade de obter uma estatística qui-quadrado que seja pelo menos este extremo ou um extremo maior. Aí a gente faz o que sempre fazemos com o teste de hipótese, nós comparamos isso ao nosso nível de significância. A gente realmente precisaria ter definido o nível de significância no começo. Sendo assim, vamos supor que quando configuramos nossas hipóteses aqui, também falamos que queríamos ter um nível de significância de 0,05. Você realmente deveria ter feito isso antes de calcular tudo isso. Agora, comparando o valor "p" com o nosso nível de significância, nós percebemos que este valor "p" é um pouco menor do que o nosso nível de significância. Uma forma de pensar sobre isso é que temos todos estes valores esperados assumindo que a hipótese zero era verdadeira. Mas a probabilidade de obter um resultado nesse extremo ou maior é menos de 2% que é menor que o nosso nível significância. Isto nos leva a rejeitar a nossa hipótese zero. Isto nos sugere que existe uma associação entre o comprimento da mão e o comprimento do pé. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo isso que a gente conversou aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!