Valor esperado de uma variável binomial

RKA14C E aí, pessoal? Tudo bem? Nesta aula, vamos entender o que é o valor esperado de uma variável binomial. Então, vamos dizer que nós temos uma variável binomial "X" aqui. Vou descrevê-la como o número de sucessos depois de "n" tentativas, em que a probabilidade de sucesso para cada tentativa é "P". Claro, nós estamos descrevendo esta variável binomial aqui, assumindo que cada uma dessas tentativas é independente, a probabilidade permanece constante, e temos um número finito de tentativas. Além disso, em cada tentativa, podemos ter sucesso ou fracasso. Isso está bem definido. Vou focar neste vídeo em tentar saber qual é o valor esperado para essa variável binomial. Ou seja, vamos focar em descobrir o valor esperado que eu vou chamar de "E(X)". Claro, já vou falar qual é o valor esperado aqui, logo no início, mas eu vou provar o porquê disso ao longo da aula. Então, o valor esperado para a variável binomial "X" é igual ao número de tentativas vezes a probabilidade de sucesso de cada tentativa. Vou até ver um exemplo mais prático para você entender o que é o valor esperado. Vamos dizer que a nossa tentativa seja de um lance livre. O sucesso, neste caso, é acertar a cesta. A probabilidade é uma porcentagem de acerto em cada lance livre. Então, vamos dizer que essa probabilidade seja de 30%, ou seja, de 0,3. Vamos dizer que você tente 10 vezes, ou seja, o número de lances livres é igual a 10. Com essas informações, o valor esperado, que é o que vamos calcular aqui, nada mais é que quantos lances livres você espera acertar. Com base nisto aqui, o valor esperado vai ser igual ao número de tentativas, que, neste caso, é 10 multiplicado pela probabilidade de sucesso, que, neste caso, é 0,3. E isso vai ser igual a 3. Isso até faz sentido, não é? Porque, de 10 lances livres, se você tem uma probabilidade de 30%, é natural que você acerte ali, próximo do 3. É um valor que você espera acertar, o valor esperado. Esse foi um exemplo para você entender o que é um valor esperado. Agora, vamos provar isto aqui matematicamente. Eu vou começar colocando uma propriedade do valor esperado que veremos mais para frente. Se você tiver o valor esperado de "X + Y", isso vai ser a mesma coisa que o valor esperado de "X" mais o valor esperado de "Y". Mas, claro, isso vamos provar em outras aulas. Vamos dizer também que temos outra variável binomial aqui, uma variável "Y", de modo que a probabilidade de "Y = 1" é igual a "P", e a probabilidade de "Y = 0" é igual a "1 - P". Claro, esses são os únicos resultados possíveis para essa variável aleatória. Se você olhar para esta parte aqui, pode ver que 1 representa o sucesso e zero representa o fracasso. Então, se você tiver a variável "X" igual a "Y + Y + Y..." "n" vezes... Basicamente, se você olhar para este exemplo aqui, o "Y = 1" é quando você acerta o lance livre, e o "Y = 0" é quando você erra. Só que, neste caso aqui, são "n" tentativas. Ou seja, este aqui é um exemplo em particular de quando nós temos 10 tentativas, mas agora eu vou provar para "n" tentativas que o valor esperado vai ser este aqui. Para isso, vamos fazer o seguinte, vamos calcular o valor esperado em ambos os membros desta equação aqui. E eu vou ter que o valor esperado de "X" vai ser igual ao valor esperado de "Y" mais o valor esperado de "Y", mais o valor esperado de "Y", "n" vezes... Claro, utilizei esta propriedade aqui para calcular o valor esperado de "n" vezes o "Y". Ou seja, aqui tem "n" vezes o "Y", que eu posso colocar aqui. Se olharmos para este lado direito aqui, isso vai ser a mesma coisa que "n" vezes o valor esperado de "Y". Então, "n" vezes E(Y)". E qual é o valor esperado de "Y"? Simples, o valor esperado de "Y", que eu posso colocar aqui... Nós podemos utilizar esses dois valores. Então, o primeiro vai ser "P" vezes o número de tentativas, sendo que, neste caso aqui, nós tivemos uma tentativa. Então, vezes 1, mais a probabilidade de zero tentativas, que é "1 - P", vezes zero. Isso é fácil de resolver. Zero vezes qualquer coisa vai dar zero. E "P" vezes 1 vai ser igual a "P". Então, isto aqui é igual a "P". O valor esperado de "Y" é igual a "P". E, se nós substituirmos isto aqui nesse valor esperado, vamos ter que isto é igual a "P". Com isso, chegamos ao valor esperado da nossa variável "X", que é igual a "n" vezes "P", que era o que nós queríamos demonstrar. Espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!