Variância de uma variável binomial

RKA14C E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, vamos estudar a variância de uma distribuição binomial. No último vídeo, eu coloquei esta variável aleatória "X" aqui, que nada mais era do que o número de sucessos de "n" tentativas em que "p", que era a probabilidade de sucesso, era igual a "p" para cada tentativa independente. Claro, esta probabilidade de sucesso aqui é constante em cada tentativa. Por ser independente, a probabilidade em cada tentativa não depende da outra. No vídeo passado, nós também falamos a respeito de valor esperado dessa variável aleatória. E vimos que ela pode ser igual à soma da probabilidade de cada tentativa. Sendo este "Y" aqui a probabilidade de cada tentativa e que, quando o "Y" é igual a 1, temos o sucesso, e isso é igual a "p", quando o "Y" é igual a zero, nós temos o fracasso, e isso é igual a "1 – p". Basicamente, o "Y = 1" é o sucesso, e o "Y = 0" é o fracasso em cada uma destas tentativas aqui. Se você somar todos esses "Y", isso vai ser igual à variável "X". Nós também utilizamos isso para calcular o valor esperado. Ou seja, nós vimos que o valor esperado de "Y" era igual à probabilidade de sucesso vezes 1, que era a primeira tentativa, mais "1 – p", que é o fracasso, vezes zero, que era o "Y = 0". E, claro, vimos que isto aqui vai dar zero, e o valor esperado de "Y" é igual a "p". Portanto, se você quisesse calcular o valor esperado de "X", nós teríamos que aplicar o valor esperado nos dois lados da equação, que seria a mesma coisa que a soma do valor esperado de cada um destes termos aqui. E isso seria a mesma coisa que "n" vezes o valor esperado de "Y". Como vimos na aula anterior, o valor esperado de "Y" era igual a "p", portanto, isto aqui seria "n" vezes "p", que seria igual a "np". Ou seja, o valor esperado de "X" é igual a "n" vezes "p". Claro, eu só dei uma resumida aqui bem rápida. Nós vimos isso na aula anterior com bastante cuidado. Eu sugiro que você dê uma olhadinha! Nesta aula, vamos descobrir a variância de "X". Então, vamos colocar a variância aqui. E vamos utilizar algumas propriedades que você não vê no desvio padrão. Mas lembrando que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Então, se você tem a variância, você pode descobrir o desvio padrão. Claro, eu relembrei isso para mostrar para vocês que podemos fazer a mesma coisa com a variância. Ou seja, nós podemos colocar a soma das variâncias desses "n" termos. Quando eu faço isso, vai ser a mesma coisa que eu colocar este "n" aqui, que são as "n" tentativas, vezes a variância de "Y". Basicamente, o que eu preciso fazer aqui é descobrir a variância de "Y". Eu posso separar aqui. Vamos descobrir primeiro a variância de "Y". Então, a variância de "Y" vai ser igual ao quê? A variância, basicamente, é a soma ponderada das distâncias ao quadrado, distâncias essas até a média. Ou seja, vamos pegar a probabilidade de sucesso, que neste caso é "p", e multiplicar pela distância do 1 até a média ao quadrado. Neste caso, a média é "1 – p", que é o valor esperado. E somamos isso com a probabilidade de fracasso, que neste caso é "1 – p", vezes a distância do zero até a média elevada ao quadrado. Então, vezes "(0 – p)²". Podemos ajeitar isto aqui. Então, isso vai ser igual... Vamos ver o que podemos fazer? Bem, aqui vai ser "p", que multiplica "(1 – p)²" mesmo. E "(0 – p)²" vai dar "p²". Então, posso colocar deste lado aqui: mais "p²" que multiplica "1 – p", que é este "1 – p" aqui. Fiz desse jeito porque podemos colocar o "p" que multiplica "1 – p" em evidência. Podemos fatorar. Então, "p" que multiplica "1 – p"... Neste momento, você deve se perguntar: "O que multiplicado por isto aqui vai dar isto aqui?". Simples, é "1 – p". Isso porque "1 – p" vezes "1 – p" vai dar "(1 – p)²". E ainda vamos ter este "p" aqui. Nós só precisamos somar com um "p" aqui. Isso porque "p" vezes "1 – p" vai dar esta outra parte aqui. Agora, eu posso cancelar este "p" com este "p". Portanto, tudo isto aqui vai dar 1. Aí, nós vamos ter "p" vezes "1 – p" vezes 1, o que vai nos dar uma variância de "Y = p", que multiplica "1 – p". Podemos substituir isto aqui para descobrirmos a variância de "X". Ou seja, a variância de "Y" é igual a "p", que multiplica "1 – p". Com isso, vamos ter que a variância de "X" é igual a "n"... Deixa eu colocar o "n" aqui. ...que multiplica "p" vezes "1 – p". Nós podemos até ver um exemplo mais prático, igual nós vimos na aula passada. Lembra? Nós tínhamos 10 lances livres aqui, sendo que cada tentativa era um lance livre. Nós vimos que a probabilidade de acertar cada tentativa era de 0,3. Ou seja, a chance de sucesso é de 0,3. Sabendo disso, nós podemos calcular a variância. Então, a variância de "X" vai ser igual ao "n", que é o número de tentativas, que neste caso é 10, então, 10 lances livres... E eu posso substituir a probabilidade de sucesso aqui. Eu vou ter 10 vezes 0,3, que multiplica "1 – p". Ou seja, "1 – 0,3", isso vai dar 0,7. Multiplicando isso, eu vou ter 10 vezes... "0,3 vezes 0,7" dá 0,21, e "10 vezes 0,21" é igual a 2,1. Ou seja, a variância de "X" é igual a 2,1. Se eu quisesse descobrir o desvio padrão, eu poderia tirar a raiz quadrada disto aqui. Basicamente, quando eu quero descobrir o desvio padrão, posso tirar a raiz quadrada disto aqui. Espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!