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Estatística Avançada

Curso: Estatística Avançada > Unidade 8

Lição 5: Introdução à distribuição binomial
Matemática
Estatística Avançada
Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade
Introdução à distribuição binomial
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Probabilidade binomial (básico)

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Problema 1: construção de intuição com lances livres

Sofia acerta 90, percent dos arremessos livres que tenta. Ela fará 3 arremessos livres. Assuma que os resultados dos três arremessos livres são independentes entre si.
Ela quer calcular a probabilidade de acertar exatamente 2 de 3 arremessos livres.
Para pensar nesse problema, vamos dividir esse problema em pequenas partes.
problema A
Se ela acertar 2 dos arremessos livres, quantos arremessos livres significa que ela precisa errar?
Escolha 1 resposta:

problema b
Calcule a probabilidade de ela acertar seus 2 primeiros arremessos livres e errar o terceiro arremesso livre.
Se necessário, arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
P, left parenthesis, start text, a, c, e, r, t, o, comma, space, a, c, e, r, t, o, comma, space, e, r, r, o, end text, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

problema c
"Acerto, acerto, erro" não é a única maneira que Sofia pode acertar 2 arremessos livres em 3 tentativas.
Calcule a probabilidade de ela acertar seu primeiro arremesso livre; depois, errar o segundo; e, em seguida, acertar o terceiro.
Se necessário, arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
P, left parenthesis, start text, a, c, e, r, t, o, comma, space, e, r, r, o, comma, space, a, c, e, r, t, o, end text, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

problema d
Sofia também poderia acertar 2 arremessos livres se seus resultados fossem "erro, acerto, acerto".
Calcule a probabilidade de ela errar seu primeiro arremesso livre e acertar seus 2 próximos arremessos.
Se necessário, arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
P, left parenthesis, start text, e, r, r, o, comma, space, a, c, e, r, t, o, comma, space, a, c, e, r, t, o, end text, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

problema E
Use a fórmula da combinação para confirmar que essas 3 maneiras representam todas as maneiras em que é possível organizar 2 acertos em 3 tentativas.
start subscript, n, end subscript, start text, C, end text, start subscript, k, end subscript, equals, start fraction, n, !, divided by, left parenthesis, n, minus, k, right parenthesis, !, dot, k, !, end fraction
start subscript, 3, end subscript, start text, C, end text, start subscript, 2, end subscript, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
maneiras

problema f
Agora, junte todas as informações para descobrir a probabilidade de ela acertar exatamente 2 dos 3 arremessos livres.
Se necessário, arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
P, left parenthesis, start text, a, c, e, r, t, a, space, 2, space, d, e, space, 3, space, a, r, r, e, m, e, s, s, o, s, space, l, i, v, r, e, s, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, S, space, end text, start text, S, space, end text, start text, F, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, S, space, end text, start text, F, space, end text, start text, S, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, F, space, end text, start text, S, space, end text, start text, S, end text, right parenthesis
P, left parenthesis, start text, a, c, e, r, t, a, r, space, 2, space, d, e, space, 3, space, a, r, r, e, m, e, s, s, o, s, space, l, i, v, r, e, s, end text, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Generalização a partir do Problema 1: construção de uma fórmula para uso futuro

Vimos no Problema 1 que ordens diferentes do mesmo resultado têm a mesma probabilidade.
Podemos construir uma fórmula para esse tipo de problema, que é chamado modelo binomial. Um problema de probabilidade binomial tem essas características:
  • um número definido de ensaios left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis
  • cada ensaio pode ser classificado como "sucesso" ou "fracasso"
  • a probabilidade de sucesso left parenthesis, start color #1fab54, p, end color #1fab54, right parenthesis é a mesma para cada ensaio
  • os resultados de cada ensaio são independentes entre si
Aqui está um resumo da nossa estratégia geral para probabilidade binomial:
P(nº de sucessosobter exatamente um)=(arranjosnº de)⋅(de sucessoprobabilidade)(sucessosnº de)⋅(de fracassoprobabilidade)(fracassosnº de)\begin{aligned} &P\left( \overset{\text{obter exatamente um}}{\text{nº de sucessos}}\right) \\\\ &=\left( \overset{\text{nº de}}{\text{arranjos}}\right) \cdot \left( \overset{\text{probabilidade}}{\text{de sucesso}}\right)^{\left( \overset{\text{nº de}}{\text{sucessos}}\right)} \cdot \left( \overset{\text{probabilidade}}{\text{de fracasso}}\right)^{\left( \overset{\text{nº de}}{\text{fracassos}}\right)} \end{aligned}
Usando o exemplo do Problema 1:
  • n, equals, 3 arremessos livres
  • cada arremesso livre é "acertar" (sucesso) ou "errar" (fracasso)
  • a probabilidade de que ela acerte um arremesso livre é start color #1fab54, p, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 0, comma, 90, end color #1fab54
  • assuma que os arremessos livres são independentes entre si
P(acertar 2 dos 3 lances livres)= 3C2⋅(0,90)2⋅(0,10)1=3⋅0,81⋅0,10=3⋅0,081=0,243\begin{aligned}P(\text{acertar 2 dos 3 lances livres}) &= \, _3\text{C}_2 \cdot(\greenD{0{,}90})^{2} \cdot (\maroonD{0{,}10})^1 \\ \\ &=3\cdot0{,}81\cdot0{,}10 \\ \\ &=3\cdot0{,}081 \\ \\ &=0{,}243\end{aligned}

Em geral...

P, left parenthesis, start text, e, x, a, t, a, m, e, n, t, e, space, end text, k, start text, space, s, u, c, e, s, s, o, s, end text, right parenthesis, equals, start subscript, n, end subscript, start text, C, end text, start subscript, k, end subscript, dot, p, start superscript, k, end superscript, dot, left parenthesis, 1, minus, p, right parenthesis, start superscript, n, minus, k, end superscript
Tente usar essas estratégias para resolver outro problema.

Problema 2

Lucas, irmão caçula da Sofia, tem somente 20, percent de chance de acertar um arremesso livre. Ele irá tentar 4 arremessos livres.
Qual é a probabilidade de que ele acerte exatamente 2 dos 4 arremessos livres?
P, left parenthesis, start text, e, x, a, t, a, m, e, n, t, e, space, 2, space, a, c, e, r, t, o, s, end text, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Desafio

Sofia promete ao Lucas que irá comprar um sorvete se ele acertar 3 ou mais dos 4 arremessos livres.
Qual é a probabilidade de que ele acerte 3 ou mais dos 4 arremessos livres?
P, left parenthesis, start text, 3, space, o, u, space, m, a, i, s, space, a, c, e, r, t, o, s, end text, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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