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Combinação de variáveis aleatórias

Efeito na média, desvio-padrão e variância

Podemos formar novas distribuições combinando variáveis aleatórias. Se soubermos a média e o desvio-padrão das distribuições originais, podemos usar essas informações para calcular a média e o desvio-padrão da distribuição resultante.
Podemos combinar médias diretamente, mas não podemos fazer isso com desvios-padrão. Podemos combinar variâncias, desde que seja razoável assumir que as variáveis sejam independentes.
MédiaVariância
Somando: T, equals, X, plus, Ymu, start subscript, T, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, plus, mu, start subscript, Y, end subscriptsigma, start subscript, T, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared
Subtraindo: D, equals, X, minus, Ymu, start subscript, D, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, minus, mu, start subscript, Y, end subscriptsigma, start subscript, D, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared
Aqui estão alguns fatos importantes sobre a combinação de variâncias:
  • Certifique-se de que as variáveis sejam independentes ou que seja razoável assumir independência antes de combinar variâncias.
  • Mesmo quando estamos subtraindo duas variáveis aleatórias, ainda somamos suas variâncias; subtrair duas variáveis aumenta a variabilidade total dos resultados.
  • Podemos calcular o desvio-padrão de distribuições combinadas tirando a raiz quadrada das variâncias combinadas.

Exemplo 1: estabelecendo a independência

Para combinar as variâncias de duas variáveis aleatórias, precisamos saber, ou estar dispostos a assumir, que as duas variáveis são independentes.
QUESTÃO A (Exemplo 1)
Para quais pares de variáveis seria razoável supor independência?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Exemplo 2: notas no SAT

Aproximadamente 1,7 milhões de estudantes fizeram a prova SAT em 2015. Cada estudante recebeu uma nota em análise crítica e em matemática.
Aqui está o resumo das estatísticas para cada parte do teste em 2015:
MatériaMédiaDesvio-padrão
Análise críticamu, start subscript, C, R, end subscript, equals, 495sigma, start subscript, C, R, end subscript, equals, 116
Matemáticamu, start subscript, M, end subscript, equals, 511sigma, start subscript, M, end subscript, equals, 120
Totalmu, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end textsigma, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end text
Suponha que escolhemos um estudante aleatoriamente nessa população.
Questão A (Exemplo 2)
Qual é a média da soma das notas de um estudante em análise crítica e matemática?
Escolha 1 resposta:

Questão B (Exemplo 2)
Qual é o desvio-padrão da soma das notas de um estudante em análise crítica e matemática?
Escolha 1 resposta:

Exemplo 3: inspeções de itens

Cada unidade de um determinado item em uma fábrica é inspecionado por 4 empregados. O tempo que cada funcionário leva para inspecionar o item tem média de 30 segundos e desvio-padrão de 6 segundos. Além disso, o tempo que um funcionário leva para inspecionar um item não é afetado pelo tempo que outro funcionário leva.
Seja T o tempo total que 4 funcionários levam para inspecionar um item selecionado aleatoriamente.
Questão A (Exemplo 3)
Qual é o tempo total médio que leva para 4 empregados inspecionarem um item selecionado ao acaso?
Escolha 1 resposta:

Questão B (Exemplo 3)
Qual é o desvio-padrão do tempo total que leva para 4 empregados inspecionarem um item selecionado ao acaso?
Escolha 1 resposta:

Exemplo 4: diferenças em alturas

Um sociólogo tomou uma grande amostra de membros das forças armadas e examinou as alturas dos homens e mulheres na amostra. O resumo das estatísticas das alturas das pessoas no estudo é mostrado abaixo.
Suponha que escolhemos um homem e uma mulher do estudo aleatoriamente e examinamos a diferença entre suas alturas. Seja M a altura do homem, W a altura da mulher e D a diferença entre suas alturas left parenthesis, D, equals, M, minus, W, right parenthesis.
MédiaDesvio-padrão
Homemmu, start subscript, M, end subscript, equals, 178, start text, c, m, end textsigma, start subscript, M, end subscript, equals, 7, start text, c, m, end text
Mulhermu, start subscript, W, end subscript, equals, 164, start text, c, m, end textsigma, start subscript, W, end subscript, equals, 6, start text, c, m, end text
Diferençamu, start subscript, D, end subscript, equals, start text, question mark, end textsigma, start subscript, D, end subscript, equals, start text, question mark, end text
Questão A (Exemplo 4)
Qual é a média da diferença entre as duas alturas?
Escolha 1 resposta:

Questão B (Exemplo 4)
Qual é o desvio-padrão da diferença entre as duas alturas?
Escolha 1 resposta:

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