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Raciocínio sobre por que a independência é importante para a variância da soma

Raciocínio sobre por que a independência é importante para a variância da soma.

Transcrição de vídeo

RKA1JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver por que a independência é importante para a variância da soma. Em vídeos passados, nós vimos que se "x" e "y" são variáveis aleatórias independentes, então, a variância da soma é igual à soma das variâncias. Vimos também que quando você tem duas variáveis dependentes, quando você faz essa soma, a sua variação, a sua variância, vai aumentar. Nós vimos isso intuitivamente na aula passada. Nessa aula, eu quero mostrar a importância  dessa independência para essa afirmação. Para isso, vamos pensar em duas variáveis que definitivamente não são independentes. Vamos colocar uma variável aleatória "x" aqui que seja o número de horas que uma pessoa dormiu ontem. E uma outra variável aleatória "y" que seja o número de horas que a mesma pessoa ficou acordada ontem. E fica bem claro que essas duas variáveis não são independentes porque uma completa a outra. Por exemplo, se a pessoa dormiu 8 horas ontem significa que ela ficou acordada 16 horas. Se ela dormiu 16 horas, significa que ela ficou acordada 8 horas, ou seja, elas não são independentes. O que significa que, se nós somarmos essas duas variáveis aqui, isso vai ter que dar 24 horas. Então, "x", que é o número de horas que a pessoa dormiu ontem, mais "y", que é o número de horas que a pessoa ficou acordada, é igual a 24 horas. Portanto, essas variáveis não são independentes. O que significa que, se você tem  uma das duas variáveis, automaticamente você vai conhecer a outra. Para você entender o porquê dessa independência ser importante, vamos dizer que nós temos aqui uma variância, uma variação de 4 horas ao quadrado. Com isso, podemos dizer que o desvio padrão da variável "x" vai ser igual 2 horas. Vamos dizer que o desvio padrão da variável "y" seja igual a 2 horas. Com isso, a variância, a variação vai ser de 2². Então, a variância de "y" vai ser igual a 4 horas ao quadrado. Se nós aplicarmos isso nessa informação aqui, nós vamos ter que a variância de x + y é igual à soma das variâncias, das variações. Ou seja, 4 mais 4 que vai ser igual a 8  horas ao quadrado, mas será que está certo? Mas isso não faz nenhum sentido, porque como sabemos, se somarmos x + y, isso tem que dar, necessariamente, 24 horas. Ou seja, não vai ter nenhuma variação, x + y sempre vai dar 24 horas. Portanto, como essas variáveis são dependentes, essa variância tem que dar zero, ou seja, x + y tem que dar 24 horas. Pelo menos aqui na Terra. Isso dá uma ideia do porquê isso só vai ser verdadeiro se as variáveis aleatórias são independentes. Eu espero que essa aula tenha ajudado. E até a próxima, pessoal!