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Derivação da variância da diferença de variáveis aleatórias

Transcrição de vídeo

o que eu quero fazer aqui nesse vídeo é aumentar o nosso leque de ferramentas para que nós possamos lidar com somas e subtrações de variáveis randômicas variáveis aleatórias então vamos dizer que nós temos duas variáveis aleatórias x e y e elas são completamente independentes estão variáveis x e y que são independentes são variáveis aleatórias independentes variáveis aleatórias independente agora deixa eu falar um pouco sobre as notações aqui bem se eu quiser falar sobre o valor esperado dessa variável independente x isso é igual ao valor médio é a média dessa variável independente x e se nós quisermos falar do valor esperado y isso é igual ao valor esperado do y é igual à média de y agora se eu quiser falar da variância dessa variável econômica x isso vai ser igual ao valor esperado do quadrado da diferença da nossa variável econômica x ea sua média então x - a média de x elevada ao quadrado então o valor esperado desse quadrado da diferença das gestantes aqui e eu também posso usar a seguinte anotação eu posso usar sigma ao quadrado dessa variável aleatória x e isso é apenas uma revisão de coisas que nós já sabemos mas eu estou aqui reintroduzindo fazendo uma revisão para que a gente possa construir o nosso arcabouço de ferramentas ea mesma coisa serve também para a variável aleatória y isso vai ser a variância né a variância da nossa variável aleatória y vai ser igual a diferença ao quadrado da diferença entre o y ea sua média média do y elevada ao quadrado e ainda posso escrever isso claro como sigma ao quadrado de y bom talvez você não saiba esse negócio tudo aqui de valor esperado e variância por isso tem produzido novamente pra você na verdade eu não vou entrar aqui em provas muito rigorosa nem nada disso porque na verdade essas coisas todas aqui são muito simples de digerir beleza uma delas é introduzir aqui uma terceira variável aleatória que vou chamar dizer vamos dizer que é a soma de x mais y as nossas outras duas variáveis aleatórias não só para manter as cores iguais x mas o nosso y hora e agora qual será o valor esperado dizer o valor esperado dizer né sabendo que o zx1 mais y isso vai ser igual ao valor esperado de x mais y aí beleza eu não vou demonstrar isso muito rigorosamente aqui mas isso também é a mesma coisa que o valor esperado de x mas o valor esperado de y e uma outra maneira de ver isso entender que a média do z é igual à média do x mas a média do y agora vamos dizer que introduz ainda uma quarta variável aleatória e independente e eu a chamo me sei lá de ar ficando meio sem letra que estão também já vamos supor que a seja igual à x - y e agora qual será o valor esperado de a hora o valor esperado já vai ser o seguinte ou ainda o valor esperado de x + - y isso aqui ainda pode ser inscrito como o valor esperado do x - o valor esperado do y e eu ainda posso escrever que a média do ar é igual à média do x - a média do y muito simples ea partir de agora eu vou usar essas coisas aqui pra calcular distribuições que são somas ou diferenças de outras distribuições agora vamos avaliar a variância do z e a variância do ar destas duas variáveis independentes aqui ora na verdade só pra falar mais um pouquinho aqui isso faz todo o sentido pois se os x é completamente independente aqui do y é esse eu tenho uma determinada variável aleatória aqui que é a soma dos dois então é claro como x e y não estão relacionados um com o outro são completamente independentes o valor esperado então dessa nova variável ckx mais y vai ser o valor esperado da soma das outras duas variáveis faz todo sentido um é pensa comigo se o valor esperado do xis aqui é 5 eo valor esperado do y digamos que seja 7 é completamente irrazoável da gente entender que o valor esperado para o z mas e 12 5 + set tranquilo tudo isso estou assumindo que essas duas variáveis aqui são completamente independentes uma da outra e agora voltando qual será a variância dessa minha nova variável independentes e aqui é bom não vou fazer novamente uma prova em rigorosa isso são apenas propriedades da variância né mas eu vou usar isso aqui depois para determinar o valor da variância dessa nova variável aleatório independente aqui a beleza vamos lá ora se esse quadro da distância que na média é uma variância e esse daqui é completamente independente do outro ou seja um quadrado da distância aqui na média em alguma distância também então a variância dessa soma aqui será igual à soma das variâncias então isso aki vai ser igual a variância da nossa variável aleatória x mas a variância da nossa variável aleatória y estão na aliança da vale a velha história y vai ser isso daqui ou ainda eu posso escrever que a variância do z é igual a variância de que the xx mais y é a variância dx mais o y isso aqui ainda é igual a variância do x mais a variância do y olha aí a variância do y e eu espero tudo isso que esteja fazendo aqui esteja fazendo sentido para você não vou provar isso daqui rigorosamente espero só que esteja fazendo sentido e que de alguma intuição sobre como isso funciona mas você pode ver isso daqui em vários livros de estatística beleza o que eu quero fazer agora é mostrar que a variância dessa variável aleatória é exatamente essa mesma coisa que você pode pensar assim ora aqui não deveria ter um sinal de menos a diferença e aqui tem uma conta de subtração não é uma diferença de variáveis né então vamos experimentar um pouquinho para ver se é isso mesmo ora eu posso começar escrevendo aqui que a variância da nossa variável independente a é igual a variância dx - y é um é isso aqui eu ainda posso escrever como sendo a variância dx mais - y isso daqui x - y equivalente à x - y é e então eu posso chegar à conclusão que isso daqui é igual a variância do x mais a variância do - y agora quero saber se a variância do - y é igual a variância do y vamos começar analisando a variância do - y hora só baixar um pouquinho aqui pra gente começar a fazer a variância do - y é igual a isso aqui a variância do - y certo isso daqui ainda é igual ao valor esperado da distância entre com menos y certo distância entre - y - o valor esperado do - y e tudo isso daqui ainda elevada ao quadrado e isso aqui é tudo que a variância é beleza agora é o seguinte quanto é esse valor esperado - y aqui ora o que está escrito ali nos parênteses é o seguinte eu posso escrever como sendo menos um quadrado que multiplica y mais o valor esperado do - y e eu ainda tenho que levar tudo isso daqui é o quadrado essas coisas são coisas equivalente está aqui em cima aqui embaixo então tudo isso aqui é o valor esperado dessa coisa toda isso aqui é ou não é e agora qual é o valor esperado do - y fazer aqui em cima o valor esperado do - y é igual a menos o valor esperado do y e agora então eu posso risca ver isso daqui aqui em baixo como sendo o valor esperado de quanto isso aqui - um quadrado é a mesma coisa que um não vai alterar nada e aqui dentro vai ficar o que y só que em vez de colocar mais o valor esperado - y eu vou colocar menos o valor esperado da nossa variável y e tudo isso daqui ainda elevada ao quadrado beleza e agora perceba isso daqui por definição é exatamente a mesma coisa que a variância tu y então aqui mas acabamos de mostrar pra você que a variância da diferença de duas variáveis aleatórias é igual à soma das variantes de cada uma delas então variância do x mais a variância da variável aleatória y então o que nós acabamos de fazer aqui foi mostrar pra você que esse valor aqui ó variância do - y é exatamente igual a variância do y e aí podemos escrever dessa forma que o que faz todo o sentido já que a distância até a média você não se importa se é positivo ou negativo você quer saber apenas o valor absoluto daquela distância é ou não é e aí sim faz todo o sentido que esse valor e esse valor sejam iguais agora a coisa mais importante aqui nesse vídeo é o seguinte é mostrar que a média das distâncias dessas variáveis é igual a isso aqui ó ou seja é igual à diferença das médias a mesma diferença é a diferença das médias ea outra coisa importante é que nesse vídeo é essa afirmação aqui ó que nós deduzimos também ou seja que a variância da diferença das duas variáveis aleatórias é igual a verdade a soma das variantes de cada uma destas variáveis aleatórias beleza eu só espero que não tenha sido muito confuso para vocês que têm entendido mas se por acaso foi confuso apenas aceite isso daqui como novas ferramentas que nós usaremos nos próximos vídeos tranquilo então é isso até o próximo vídeo
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