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Variância da soma e diferença de variáveis aleatórias

Transcrição de vídeo

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos estudar a variância da soma e a diferença de variáveis aleatórias E para isso nós definimos duas variáveis aleatórias aqui sendo que a primeira é a variável x que é o peso do cereal na Caixa ou seja dessa caixa aqui e digamos que nós conhecemos alguns dados como o valor esperado que é igual a 16 De gramas isso é algo que geralmente vem escrito na caixa então aqui 16 de gramas e quando estamos falando de valor esperado o que eu quero dizer é que nem toda a Caixa tem exatamente 16 g de cereal é um valor esperado até porque os cereais dependendo de como você coloca na caixa ela pode ter uma dance é diferente o que eu quero dizer com isso é que tem uma variação de caixa para caixa e essa variação você pode medir com o desvio padrão e vamos dizer que ele seja de 0,8 gramas e para ajudar na construção do vídeo vamos dizer que esse peso Esteja dentro de um intervalo Ou seja que o peso sempre seja maior ou igual a 15 gramas e sempre seja menor ou igual a 17 gramas e Vamos considerar também uma tigela que Pese 4 gramas e digamos que você sempre pegue a mesma tigela então o valor esperado é de 4 gramas e claro tem um desvio padrão qualquer Depende de quem enche a tigela e digamos que esse desvio padrão seja igual a 0,6 g e nós também podemos criar o e para os valores da variável y e vamos dizer que a pessoa não gosta de uma tigela nem muito pesada e nem muito leve então a variável Y está entre três gramas e 5 gramas e o que eu quero saber aqui é qual é o peso combinado do cereal da caixa e da tigela basicamente o que eu quero saber é a soma entre a variável X é a variável Y ou seja a soma das variáveis aleatórias e de vídeos passados nós sabemos que o valor esperado dessa soma é igual a soma dos valores esperados e sabemos que o valor esperado de x é 16g e o valor esperado de y = 4 gramas portanto a soma do valor esperado de x com o valor esperado de Y = e mais 4 = 20 gramas mas é a variação será que podemos somar esse desvio padrão com esse ou seja se eu quisesse descobrir o desvio-padrão de X + Y como eu poderia fazer isso o que acontece é que você não pode simplesmente somar os desvios padrões Mas o que você pode fazer é somar as variações basicamente a variação de X + Y = variação de X mas a variação de Y ou seja a variação de X + Y = variação de X + avaliação de y mais claro assumindo e x e y são independentes ou seja elas não dependem uma da outra e eu não vou provar isso nessa e quem sabe em uma próxima o que eu vou fazer aqui é mostrar intuitivamente Observe através desse intervalo que a variável x ela pode variar em duas gramas e a mesma coisa acontece aqui e portanto qual é o valor máximo que essa soma pode assumir Ou seja a soma x + y ela pode assumir no máximo 22 se você somar os dois extremos a direita então a soma x + y ela é menor ou igual a 22 gramas e qual é o cenário mais leve possível é quando você pega os dois extremos da esquerda ou seja quando eu pego a 15 gramas daqui e 3G daqui que vai dar um total de 18 gramas e com isso você pode ver que a variação para a soma é maior ela tem um e assim maior o intervalo dessa soma é de 4 gramas Enquanto aqui e aqui é de duas gramas e uma outra maneira de pensar nisso é que se você olhar para o extremo superior e para o extremo inferior dessa soma você vai ver que eles estão mais longe de sua média aqui nesse caso 20 do que os extremos tem esses intervalos em relação as suas médias isso intuitivamente te dá ideia do porquê disso aqui você é verdade e deixa eu te fazer uma outra pergunta o que acontece com a variação de x menos y será que podemos pensar desse mesmo jeito só que agora utilizando a subtração das variáveis aleatórias sem podemos fazer da mesma forma nós podemos pegar x menos y e também pensar no seu intervalo e qual é o mais baixo o que você deve fazer é pegar o valor mais baixo da variável x e subtrair pelo valor mais alto da variável y e 15 - 5 = 10 Esse é o valor mais baixo da nossa subtração e quanto ao valor mais alto como podemos fazer simples você pega o valor mais alto de x e subtrai pelo valor mais baixo de y e 17 - 3 da 14 e do mesmo jeito que acontece aqui na soma na subtração parece que a variabilidade aumentou ou seja a diferença em relação à média aumentou aqui 16 - 4 da 12 e com isso vamos ter uma diferença de duas unidades em relação à média aqui nessa subtração mas claro isso é só uma ideia intuitiva eu não estou provando nada nas próximas aulas eu faço essa prova mas o que eu quero dizer é que se você estiver somando ou subtraindo variáveis aleatórias você pode utilizar o mesmo recurso mais claro assumindo que as variáveis são independentes com isso resolvido Vamos aprender a calcular o desvio padrão da soma x + y nós conhecemos isso não é então vamos utilizar aqui anotação de cima e vamos ver outra maneira de escrever nós podemos colocar o desvio padrão ao quadrado Isso vai ser igual à variação de x ao quadrado mais a variação de y ao quadrado a variação de x e 0,8 então 0,8 ao quadrado e somamos com a variação de y que nesse caso é 0,6 gramas o quadrado então 0,6 gramas ao quadrado 0,8 ao quadrado da 0,64 e 0,6 ao quadrado da 0,36 e se somarmos isso vai ser igual a 1 e se você extrair a raiz quadrada Em ambos os membros você vai ver que isso também é igual a um isso nos mostra intuitivamente que isso estamos somando ou subtraindo duas variáveis aleatórias Independentes a variação dessa soma ou subtração a variabilidade aumentará e no próximo vídeo eu vou mostrar o porquê dessa Independência ser importante para essa afirmação e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal
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