Prova do valor esperado de uma variável aleatória geométrica

RKA2G - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos conversar sobre o valor esperado da variável aleatória geométrica. Para começar, observe aqui uma variável aleatória geométrica clássica. Estamos definindo como o número de ensaios independentes que precisamos ter "sucesso", onde a probabilidade de sucesso para cada tentativa é "p". Já vimos isso antes, quando eu apresentei as variáveis aleatórias geométricas. Agora, o objetivo deste vídeo é pensar sobre qual é o valor esperado de uma variável aleatória geométrica como esta. Eu vou te dizer a resposta. Aí, em vídeos futuros, nós vamos aplicar essa fórmula. Afinal, o objetivo deste vídeo é apenas demonstrar isso matematicamente. Enfim, o valor esperado de uma variável aleatória geométrica vai ser 1 sobre a probabilidade de sucesso em qualquer teste (p). Vamos demonstrar isso. O valor esperado de qualquer variável aleatória vai ser apenas os resultados das probabilidades, ponderados pelo número de cada tentativa. Então, você poderia dizer que o valor esperado é igual à probabilidade de nossa variável aleatória ser igual a 1, vezes 1, mais a probabilidade de que a variável aleatória seja igual a 2, vezes 2, e aí a gente continua fazendo isso sucessivamente. Um detalhe é que uma variável aleatória geométrica só pode assumir valores 1, 2, 3, 4 e assim por diante. Não vai assumir o valor zero porque você não pode ter um sucesso se você ainda não fez um teste. Mas a que isto vai ser igual? Isso vai ser igual a... Qual é a probabilidade de termos um sucesso em nosso primeiro teste? Eu vou escrever isso aqui. Este vai ser apenas "p". E o que vai ser isto? Qual é a probabilidade de não termos um sucesso em nossa primeira tentativa, mas a gente ter um sucesso é nossa segunda tentativa? Isso vai ser 1 - p, o que quer dizer que não temos sucesso na primeira tentativa, mas aí temos que multiplicar isto por "p", afinal, foi um sucesso na segunda tentativa. Vamos colocar mais alguns termos aqui. O que vai ser isto? A probabilidade de que "x" seja igual a 3. E para isso, temos que ter duas tentativas sem sucesso. A probabilidade de duas tentativas sem sucesso é (1 - p)². E aí temos uma tentativa com sucesso. Pegou a ideia geral? Vamos reescrever isto para deixar tudo um pouco mais simples. Então, o valor esperado (pelo menos para os propósitos desta demonstração), o valor esperado de "x", vai ser igual... Vou escrever isto como: 1p + 2p vezes (1 - p) + 3p vezes (1 - p)², e nós vamos continuar fazendo isso. Ok, mas como descobrimos o resultado desta soma? Bem, eu vou usar alguns truques matemáticos aqui, agora. Você já viu alguma coisa sobre série geométrica infinita, não? Eu vou usar uma técnica muito semelhante. O que eu vou fazer aqui é multiplicar esse valor esperado por (1 - p). Vamos fazer isso. Vamos ter aqui: (1 - p), vezes o valor esperado de "x". E isso é igual ao quê? Bem, ao fazer isso, eu também tenho que multiplicar cada um destes termos por (1 - p). Então, multiplicamos 1p com -p, depois, multiplicamos (2p - 1) com -p, E isso fica igual ao quê? Fica igual a 2p vezes (1 - p)². Eu acho que você já viu onde isso vai dar. Afinal, basta eu continuar adicionando a partir daí. Agora vamos fazer algo muito divertido e interessante, pelo menos de um ponto de vista matemático. Se isto é igual a isto, se o lado esquerdo é igual ao lado direito, vamos apenas subtrair os valores de ambos os lados da igualdade . Então, no lado esquerdo, eu teria o valor esperado de "x", menos isto. ou seja, -(1 - p) vezes o valor esperado de "x". Eu apenas fiz uma subtração aqui deste lado, mas também vamos fazer o mesmo do lado direito. Eu poderia subtrair esta expressão desta outra, mas isso é equivalente. Então, ao subtrair estas expressões, o que eu ganho? Bem, vamos ver. Eu vou colocar o 1p aqui. Aí, eu vou ter 1 - p e então, se eu subtrair 1p vezes (1 - p) de 2p vezes (1 - p), eu só vou ficar com +1p vezes (1 - p). Então, se eu subtrair isto disto, eu vou ficar com 1p vezes (1 - p)² e vamos continuar fazendo isso. Deixe-me simplificar isso um pouco. Se eu distribuir este negativo, isto poderia ser mais. Então, isto seria (p - 1) e, se distribuirmos este valor esperado de "x", ficamos com o lado esquerdo da igualdade sendo igual a... Vamos ver. Nós temos o valor esperado de "x", mais "p" vezes o valor esperado de "x", menos o valor esperado de "x". Sendo assim, eles se cancelam. Isto vai ser igual a "p", mais "p" vezes (1 - p), mais "p" vezes (1 - p)² e assim por diante. No lado esquerdo, tudo que eu tenho é 1p vezes o valor esperado de "x". Se quiser resolver para o valor esperado de "x", eu apenas divido os dois lados por "p". Matematicamente isso é permitido, e isso é o legal desta ginástica matemática que estamos fazendo. Eu estou apenas dividindo tudo por "p" em ambos os lados. Do lado esquerdo, então, eu vou ter apenas o valor esperado de "x". Agora, se eu dividir todos estes termos por "p", este primeiro termo vai se tornar 1, o segundo termo vai se tornar (1 - p), este terceiro termo, se eu dividir por "p", se tornar +(1 - p)² e assim por diante. O que é legal sobre isso é que isto é uma série geométrica clássica com uma proporção comum de (1 - p). E, se esse termo é completamente desconhecido para você, eu aconselho você a estudar sobre isso. Afinal, isso é um dos motivos dessa variável aleatória que estamos estudando ser chamada de "geométrica". Então, procure vídeos aqui na Khan Academy sobre isso e estude um pouco. Inclusive, existem alguns vídeos que realizamos uma demonstração utilizando uma técnica muito semelhante à que estamos usando aqui, na qual toda esta soma é igual a 1 sobre 1 menos a proporção comum. E neste caso, a proporção comum é (1 - p). Então, isso tudo aqui vai ser igual ao quê? Estamos na reta final. Isto vai ser igual a 1 sobre (1 - 1 + p), que é de fato igual a 1/p. Então, está aí. Utilizando uma matemática bem legal, nós demonstramos que o valor esperado de uma variável aleatória geométrica é de fato igual a 1/p. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!