Conteúdo principal
Estatística Avançada
Curso: Estatística Avançada > Unidade 8
Lição 7: A distribuição geométrica- Introdução às variáveis aleatórias geométricas
- Variáveis aleatórias binomiais x geométricas
- Distribuições geométricas
- Probabilidade de uma variável aleatória geométrica
- Probabilidade geométrica
- Probabilidade geométrica cumulativa (maior que um valor)
- Probabilidade geométrica cumulativa (menor que um valor)
- Funções geometpdf e geometcdf da TI-84
- Probabilidade geométrica cumulativa
- Prova do valor esperado de uma variável aleatória geométrica
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Prova do valor esperado de uma variável aleatória geométrica
Prova do valor esperado de uma variável aleatória geométrica.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA2G - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais
um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos conversar sobre o valor
esperado da variável aleatória geométrica. Para começar, observe aqui uma variável
aleatória geométrica clássica. Estamos definindo como o número de ensaios
independentes que precisamos ter "sucesso", onde a probabilidade de sucesso
para cada tentativa é "p". Já vimos isso antes, quando eu apresentei
as variáveis aleatórias geométricas. Agora, o objetivo deste vídeo é pensar
sobre qual é o valor esperado de uma variável aleatória geométrica como esta. Eu vou te dizer a resposta. Aí, em vídeos futuros, nós vamos aplicar
essa fórmula. Afinal, o objetivo deste vídeo é apenas
demonstrar isso matematicamente. Enfim, o valor esperado de uma variável
aleatória geométrica vai ser 1 sobre a probabilidade de sucesso
em qualquer teste (p). Vamos demonstrar isso. O valor esperado de qualquer
variável aleatória vai ser apenas os resultados
das probabilidades, ponderados pelo número de cada tentativa. Então, você poderia dizer que
o valor esperado é igual à probabilidade de nossa variável
aleatória ser igual a 1, vezes 1, mais a probabilidade de que a variável
aleatória seja igual a 2, vezes 2, e aí a gente continua fazendo isso
sucessivamente. Um detalhe é que uma variável
aleatória geométrica só pode assumir valores 1, 2, 3, 4
e assim por diante. Não vai assumir o valor zero porque você não pode ter um sucesso
se você ainda não fez um teste. Mas a que isto vai ser igual? Isso vai ser igual a... Qual é a probabilidade de termos
um sucesso em nosso primeiro teste? Eu vou escrever isso aqui.
Este vai ser apenas "p". E o que vai ser isto? Qual é a probabilidade de não termos
um sucesso em nossa primeira tentativa, mas a gente ter um sucesso é nossa
segunda tentativa? Isso vai ser 1 - p, o que quer dizer que
não temos sucesso na primeira tentativa, mas aí temos que multiplicar isto por "p", afinal, foi um sucesso na segunda tentativa. Vamos colocar mais alguns termos aqui. O que vai ser isto? A probabilidade de que "x" seja igual a 3. E para isso, temos que ter duas tentativas
sem sucesso. A probabilidade de duas tentativas
sem sucesso é (1 - p)². E aí temos uma tentativa com sucesso. Pegou a ideia geral? Vamos reescrever isto para deixar
tudo um pouco mais simples. Então, o valor esperado (pelo menos
para os propósitos desta demonstração), o valor esperado de "x", vai ser igual... Vou escrever isto como: 1p + 2p vezes
(1 - p) + 3p vezes (1 - p)², e nós vamos continuar fazendo isso. Ok, mas como descobrimos
o resultado desta soma? Bem, eu vou usar alguns truques
matemáticos aqui, agora. Você já viu alguma coisa sobre série
geométrica infinita, não? Eu vou usar uma técnica muito semelhante. O que eu vou fazer aqui é multiplicar
esse valor esperado por (1 - p). Vamos fazer isso. Vamos ter aqui: (1 - p), vezes o valor
esperado de "x". E isso é igual ao quê? Bem, ao fazer isso, eu também tenho que
multiplicar cada um destes termos por (1 - p). Então, multiplicamos 1p com -p, depois, multiplicamos (2p - 1) com -p, E isso fica igual ao quê? Fica igual a 2p vezes (1 - p)². Eu acho que você já viu onde isso vai dar. Afinal, basta eu continuar adicionando
a partir daí. Agora vamos fazer algo muito divertido
e interessante, pelo menos de um ponto
de vista matemático. Se isto é igual a isto, se o lado esquerdo é igual ao lado direito, vamos apenas subtrair os valores
de ambos os lados da igualdade . Então, no lado esquerdo, eu teria
o valor esperado de "x", menos isto. ou seja, -(1 - p) vezes o valor esperado de "x". Eu apenas fiz uma subtração aqui deste lado, mas também vamos fazer o mesmo
do lado direito. Eu poderia subtrair esta expressão
desta outra, mas isso é equivalente. Então, ao subtrair estas expressões,
o que eu ganho? Bem, vamos ver. Eu vou colocar o 1p aqui. Aí, eu vou ter 1 - p e então, se eu subtrair 1p vezes (1 - p) de 2p vezes (1 - p), eu só vou ficar com +1p vezes (1 - p). Então, se eu subtrair isto disto,
eu vou ficar com 1p vezes (1 - p)² e vamos continuar fazendo isso. Deixe-me simplificar isso um pouco. Se eu distribuir este negativo,
isto poderia ser mais. Então, isto seria (p - 1) e, se distribuirmos este valor esperado de "x", ficamos com o lado esquerdo
da igualdade sendo igual a... Vamos ver. Nós temos o valor esperado de "x",
mais "p" vezes o valor esperado de "x", menos o valor esperado de "x". Sendo assim, eles se cancelam. Isto vai ser igual a "p", mais "p" vezes (1 - p), mais "p" vezes (1 - p)² e assim por diante. No lado esquerdo, tudo que eu tenho
é 1p vezes o valor esperado de "x". Se quiser resolver para o valor esperado de "x",
eu apenas divido os dois lados por "p". Matematicamente isso é permitido, e isso é o legal desta ginástica matemática
que estamos fazendo. Eu estou apenas dividindo tudo por "p"
em ambos os lados. Do lado esquerdo, então, eu vou ter
apenas o valor esperado de "x". Agora, se eu dividir todos estes termos por "p", este primeiro termo vai se tornar 1, o segundo termo vai se tornar (1 - p), este terceiro termo, se eu dividir por "p", se tornar +(1 - p)² e assim por diante. O que é legal sobre isso é que isto é
uma série geométrica clássica com uma proporção comum de (1 - p). E, se esse termo é completamente
desconhecido para você, eu aconselho você a estudar sobre isso. Afinal, isso é um dos motivos dessa
variável aleatória que estamos estudando ser chamada de "geométrica". Então, procure vídeos aqui na Khan
Academy sobre isso e estude um pouco. Inclusive, existem alguns vídeos que
realizamos uma demonstração utilizando uma técnica muito semelhante
à que estamos usando aqui, na qual toda esta soma é igual a 1 sobre 1
menos a proporção comum. E neste caso, a proporção comum é (1 - p). Então, isso tudo aqui vai ser igual ao quê? Estamos na reta final. Isto vai ser igual a 1 sobre (1 - 1 + p), que é de fato igual a 1/p. Então, está aí.
Utilizando uma matemática bem legal, nós demonstramos que o valor esperado
de uma variável aleatória geométrica é de fato igual a 1/p. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!