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Estatística Avançada
Curso: Estatística Avançada > Unidade 8
Lição 3: Transformação de variáveis aleatóriasImpacto de transformar (dimensionamento e deslocamento) variáveis aleatórias
Transformações lineares (soma e multiplicação de uma constante) e seus impactos sobre o centro (média) e a dispersão (desvio-padrão) de uma distribuição.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver o impacto
de transformar variáveis aleatórias, ou seja, mexer no seu dimensionamento
e no seu deslocamento. Para isso, nós temos uma variável aleatória. Vamos dizer que seja a altura de uma pessoa selecionada aleatoriamente saindo
de um shopping. E aqui nós temos a curva
das distribuições de probabilidades. Eu também coloquei a média
dessa distribuição aqui e também coloquei um desvio
padrão acima da média e um desvio padrão abaixo da média. Basicamente, o que vamos ver nesta aula
é o que acontece com a média e o desvio padrão quando somamos um número
a essa variável aleatória, ou o que acontece quando multiplicamos
a variável aleatória por um escalar, ou seja, multiplicamos por uma constante. Primeiro vamos pensar na soma. Digamos que nós temos
uma variável aleatória "y" aqui e ela vai ser igual à variável "x" somada
com uma constante que eu vou chamar de "k". Isto não é uma variável, é uma constante. Poderia ser, por exemplo, 10. É como se esta fosse a altura da pessoa
que está saindo do shopping e você estivesse adicionando
mais 10 cm à altura dela. A minha pergunta é: como isso afetaria
na média e no desvio padrão de "y"? Para você visualizar melhor, pense que
o centro das distribuições está aqui e, quando você soma uma constante "k",
você mexe o centro em "k" unidades para cá. Com isso, toda a distribuição é deslocada
em "k" unidades para a direita. E, claro, esse deslocamento depende do "k". Pode ser um deslocamento maior
ou um deslocamento menor. Esta é a nova distribuição para a variável "y". Basicamente, nós movemos a distribuição
em "k" unidades para a direita. E, claro, este sinal aqui é importante porque, se subtrairmos a variável
aleatória "x" em "k" unidades, vamos mover toda a distribuição para a esquerda. Isso claramente muda a média. A média agora vai ser "k" maior. A média de "y" vai ser a média de "x"
somada com este "k". E o desvio padrão, será que mudou? Lembre-se: o desvio padrão é o meio
de medir a propagação da média. E isso não vai mudar. Então, para a variável "x" este
comprimento aqui é o desvio padrão, que vai ser o mesmo desvio
padrão da variável "y". Ou seja, este pedacinho aqui
é o desvio padrão de "y". Portanto, o desvio padrão de "y"
é igual ao desvio padrão de "x". Se você adiciona uma constante
a uma variável aleatória "x", você vai mudar a média, mas não vai
mudar o desvio padrão. Agora, o que acontece se você dimensionar
uma variável aleatória? Por exemplo, vamos dizer que nós temos
uma outra variável aleatória aqui, que eu vou chamar de "z", e que eu pegue uma constante "k" e multiplique pela variável aleatória "x". De novo, este "k" é uma constante,
não uma variável aleatória. Vai ser um número. Por exemplo,
pode ser o número 2. Mas o que isso causa na distribuição? Vou colocar a curva da distribuição
da variável aleatória "x" aqui de novo. O que acontece é que, se este "k",
por exemplo, valesse 2, a distribuição seria "esticada" por um valor 2. E, como a área sempre tem que ser
a mesma, isto aqui seria achatado. É mais ou menos assim que ficaria
a distribuição da variável aleatória "z". Esta é a curva de "z". Com isso, você pode ver duas coisas importantes. A primeira é que a média com certeza mudou. E a segunda é que o desvio-padrão
foi redimensionado. Ou seja, este desvio padrão de "z" é o desvio padrão de "x" multiplicado
por uma constante "k". Isto é igual a uma constante "k" vezes
desvio padrão de "x". E a média é multiplicada, também,
por um fator "k". Então, a média da variável aleatória "z" é igual à constante "k" vezes
a média da variável "x". Para resumir: se você tem uma variável
aleatória "x" e soma com uma constante, isso vai mudar a média, mas não vai
mudar o desvio padrão. Agora, se você multiplicar a variável aleatória
por uma constante "k", isso vai mudar tanto a média
quanto o desvio padrão. Eu espero que esta aula tinha te ajudado
e até a próxima, pessoal!