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Curso: Estatística Avançada > Unidade 9

Lição 7: Distribuições amostrais para diferenças nas médias amostrais

Diferenças de médias amostrais — exemplos de probabilidade

Use a forma, o centro (média) e a variabilidade (desvio-padrão) para calcular as probabilidades de vários resultados quando lidamos com distribuições amostrais para as diferenças de médias amostrais.

Introdução e revisão

Neste artigo, vamos aplicar o que aprendemos sobre distribuições amostrais pelas diferenças em médias amostrais para calcular as probabilidades de vários resultados amostrais.

Pule adiante se quiser ir direto para alguns exemplos.

Temos aqui uma revisão de como podemos pensar na forma, centro, e dispersão da distribuição amostral da diferença entre duas médias

{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}

Forma

A forma de uma distribuição amostral de

{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}

depende dos tamanhos das nossas amostras e da forma da distribuição de cada população de que coletamos amostras.

Se as duas populações forem normais, então a distribuição amostral de ${\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}$ ‍ é exatamente normal, independentemente dos tamanhos das amostras.
Se uma ou as duas populações não forem normais (ou se suas formas forem desconhecidas), então a distribuição amostral de ${\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}$ ‍ é aproximadamente normal, desde que o tamanho da nossa amostra seja pelo menos $30$ ‍ da(s) população(ões) não normal(ais).

Centro

A diferença média é a diferença entre as médias das populações:

μ_{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}} = μ_{1} - μ_{2}

Dispersão

O desvio-padrão da diferença é:

σ_{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}} = \sqrt{\frac{σ_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{σ_{2}^{2}}{n_{2}}}

(em que

n_{1}

n_{2}

são os tamanhos de cada amostra).

Esta fórmula de desvio-padrão está exatamente correta, desde que tenhamos:

Observações independentes entre as duas amostras.
Observações independentes dentro de cada amostra*.

*Se estivermos amostrando sem substituição, essa fórmula na verdade vai superestimar o desvio-padrão, mas ele vai ser extremamente próximo do valor correto, desde que cada amostra seja menor que

10 %

de sua população.

Vamos tentar aplicar essas ideias a alguns exemplos e ver se podemos usá-las para calcular algumas probabilidades.

Exemplo 1

Todos os dias, milhares de pessoas em um aeroporto passam pela segurança em um de dois níveis: nível A ou nível B. Suponha que, em média, são necessários

26

minutos para que as pessoas passem pela segurança no nível A com um desvio-padrão de

7, 5

minutos. No nível B, a média e o desvio-padrão são

24

4

minutos, respectivamente.

O aeroporto analisa todos os dias amostras aleatórias de

100

pessoas de cada nível. Eles calculam o tempo médio para cada amostra, e em seguida examinam a diferença entre as médias amostrais

({\bar{x}}_{A} - {\bar{x}}_{B})

Pergunta 1.1

Quais são a média e o desvio-padrão (em minutos) da distribuição amostral de ${\bar{x}}_{A} - {\bar{x}}_{B}$ ‍?

Exemplo 2

Uma grande universidade tem mais de

30.000

alunos e mais de

1.500

professores. Suponha que as idades dos alunos sejam fortemente enviesadas para a direita com média e desvio-padrão de

21

anos e

3

anos, respectivamente. As idades dos professores também são enviesadas para a direita, com média e desvio-padrão de

50

anos e

5

anos, respectivamente.

Um aluno está conduzindo um estudo e planeja coletar amostras aleatórias separadas de

100

alunos e

20

professores. Ele vai examinar a diferença entre a idade média de cada amostra

({\bar{x}}_{P} - {\bar{x}}_{S})

O aluno se pergunta qual é a probabilidade de que a diferença entre as duas médias amostrais seja maior que

35

anos.

Pergunta 2.1

Por que é inapropriado usar uma distribuição normal para calcular essa probabilidade?

(Escolha A)
Estamos amostrando mais de $10 %$ ‍ de cada população, então não sabemos o desvio-padrão da distribuição amostral.
(Escolha B)
Estamos amostrando menos de $10 %$ ‍ de cada população, então a distribuição amostral não tem distribuição aproximadamente normal.
(Escolha C)
Nenhuma das populações é normal, então precisamos que as duas amostras sejam de pelo menos $30$ ‍, mas o tamanho amostral dos professores é muito pequeno.
(Escolha D)
Nenhuma das populações é normal, então precisamos que os tamanhos das duas amostras sejam menores que $30$ ‍, mas o tamanho da amostra dos alunos é muito grande.

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