Por que dividimos por n - 1 na variância

RKA11C Esta é uma simulação criada pelo usuário Justin Helps, da Khan Academy, na qual nós podemos estudar mais uma vez por que dividir por "n - 1" no cálculo da variância amostral dá uma estimativa melhor para a variância populacional. Ele usa uma distribuição probabilística de 0 a 200 elementos na sua população, e nós podemos, com estes botões, controlar o número de elementos da amostra e, nos gráficos abaixo, ver o que nós teríamos com a variância se fosse dividida por "n" aqui, por "n - 1" neste outro, ou por "n - 2" neste outro. Nós poderíamos clicar e adicionar elementos para a amostra, e ver como se comporta a variância de acordo com o tamanho dela. Clicando e adicionando elementos à amostra, nós podemos ver o que acontece em cada gráfico com a variância amostral em relação à variância populacional, que é representada pela linha cheia. Repare que, mesmo aumentando bastante o número de elementos da amostra, a variância, quando dividimos por "n", vai sempre ficar abaixo da variância real, da variância populacional. Ela está sempre subestimada. Por outro lado, quando dividimos por "n - 1", ao aumentar o número de elementos na amostra, nós vemos que a variância amostral converge para a variância populacional, chegando a ficar bem perto dela neste trecho do gráfico, observe. Por outro lado, ao dividir por "n - 2"... Veja, "n - 2" é um número menor, então o resultado seria maior. E, de fato, aqui nós acabamos superestimando a variância. Há uma outra maneira interessante de se observar essas informações nestes outros gráficos aqui. Aqui no eixo horizontal, nós vemos a distância entre a média amostral e a média real. Por exemplo, este ponto aqui tem uma média amostral bastante superior à média real, a média populacional. Este outro ponto aqui tem a média amostral bem inferior à média populacional. Para o eixo vertical, em cada ponto, nós calculamos a variância de duas formas. Usando este denominador "n", nós calculamos a variância usando a média populacional e depois calculamos a variância usando a média amostral. E calculamos a diferença entre uma e outra, uma menos a outra, para obter o que vai aqui no eixo vertical. Então, neste ponto aqui, por exemplo, a variância calculada com a média amostral é bastante inferior, tem uma diferença grande com relação à variância calculada com a média populacional. Observe que este gráfico inteiro está abaixo do eixo horizontal, ou seja, estamos sempre subestimando a variância ao dividir pelo denominador "n". Já neste gráfico azul, quando nós dividimos por "n - 1", observe que a diferença entre a variância amostral e a populacional já é menor, e o gráfico não está sempre abaixo da linha do zero, ou seja, de quando elas são iguais. Existem momentos em que a variância está subestimada e momentos em que ela está superestimada, mas os pontos se concentram em torno de quando uma é igual à outra. Por outro lado, no verde, vemos uma superestima bem maior. Para analisar um pouco melhor, vamos marcar aqui este ponto, por exemplo. Esta distância que nós temos aqui é exatamente o resultado da diferença entre a variância amostral, então a somatória com "i", indo de 1 até "n" minúsculo, do "xᵢ - x barra" ao quadrado, tudo isso dividido, neste caso aqui, por "n" menos o cálculo da variância populacional. Esta distância indica exatamente o quanto nós estamos subestimando a variância populacional usando a variância amostral, dividindo por "n" e não por "n - 1". Aqui no gráfico azul existe uma parte que nós estamos superestimando e uma parte que nós estamos subestimando, com uma concentração de pontos bem grande aqui na região central. Na média aqui, nós vamos convergir para a variância populacional ou próximo dela, para uma estimativa bem razoável. E aqui, no gráfico verde, nós estamos superestimando bastante a variância, usando a divisão por "n - 2". Aqui nós estávamos dividindo por "n - 1". É isso aí, até o próximo vídeo!