Cálculo de um intervalo de confiança para a diferença de proporções

RKA10C Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exemplo sobre como calcular um intervalo de confiança para a diferença de proporções. Este exemplo diz o seguinte: Douglas está investigando se os residentes de uma cidade apoiam a construção de um novo colégio. Ele está curioso sobre a diferença de opinião entre os residentes da região norte da cidade e os residentes da região sul. Ele obteve separadamente amostras aleatórias de votos de cada região. Os resultados estão na tabela abaixo. Então, vamos ver: na região norte, temos 54 de 120 que disseram que querem a escola, e 66 de 120 que disseram que não. Já no sul, temos 77 de 140 que disseram que querem, e 63 que disseram que não querem. Douglas usa esses resultados para construir um intervalo de confiança de 90% para estimar a diferença na proporção de residentes dessas regiões que apoiam o projeto de construção. E temos aqui Pₛ e Pₙ, que são os verdadeiros parâmetros para a diferença entre essas duas populações. Suponha que todas as condições para inferência foram atendidas. Sabendo disso, qual das opções a seguir é o correto intervalo de confiança de 90%, com base na amostra de Douglas? Pause este vídeo e veja se você consegue descobrir isso. Você vai precisar de uma calculadora e, dependendo de sua calculadora, você também pode precisar de uma tabela “Z”. Então, vai lá! Vou ficar aqui esperando. E aí, conseguiu? Vamos fazer juntos agora? Em um vídeo anterior, apresentamos a ideia de um intervalo “Z” de duas amostras, e conversamos sobre as condições para inferência. A sorte é que aqui já foi dito que as condições para inferência foram atendidas, então, podemos ir direto para o cálculo do intervalo de confiança. No caso, esse intervalo de confiança vai ser igual à diferença entre as proporções da amostra, ou seja, P^ₛ e P^ₙ, que correspondem às amostras da região sul e da região norte da cidade, mais ou menos o nosso valor crítico Z* vezes a nossa estimativa do desvio padrão da distribuição de amostragem da diferença entre as proporções da amostra. Essa nossa estimativa vai ser igual à raiz quadrada de: P^ₛ vezes 1 menos P^ₛ, tudo isso sobre o tamanho da amostra no sul, mais P^ₙ vezes 1 menos P^ₙ, tudo isso sobre o tamanho da amostra no norte. Agora, qual é a proporção da amostra no sul? Depois vou usar uma calculadora para obter um valor decimal, mas isto aqui vai ser igual a 77 de 140. E no norte? Vai ser 54 de 120, ou seja, 54 sobre 120. Agora, qual é o meu valor “Z” crítico? Vou ter que usar uma calculadora ou uma tabela “Z”. Lembre-se, temos 90% de intervalo de confiança. Deixe-me desenhar para te mostrar isso. Se esta é uma distribuição normal, e você quer ter um intervalo de confiança de 90%, isso significa que você está contendo 90% da distribuição. Assim, estas duas caudas combinadas teriam 10%, mas, para isso, cada uma delas tem que ter 5% da distribuição. Sabendo disso, vou olhar aqui em uma tabela “Z” e descobrir quanto de desvio padrão abaixo da média preciso ter para conseguir 5% aqui. Com esse valor, vamos conseguir encontrar um valor “Z” crítico. Deixe-me pegar uma tabela “Z”. Estou querendo 5%, então, vou procurar nesta tabela o valor mais próximo de 5%. Repare que temos dois valores aqui que são bem próximos: temos 5,05% e 4,95%. Os dois estão à mesma distância de 5%, então, estaremos aqui entre esses dois valores. Isso significa que o nosso valor “Z” é o ponto médio entre 1,64 e 1,65. Você pode usar a calculadora para fazer isso, mas já vou dizer que esse valor é 1,645. Então, podemos dizer que este Z* vai ser aproximadamente igual a 1,645. Vamos fazer o restante agora. Sabemos o valor de P^ₛ e P^ₙ. Também sabemos o tamanho de nossas amostras: no sul é 140 e no norte é 120. Agora, só preciso colocar tudo isso na calculadora. E vai ficar um pouquinho cabeludo, mas é só substituir os valores e deixar a calculadora fazer o seu trabalho. Vou começar calculando o limite superior e depois vou calcular o limite inferior. Assim, o nosso limite superior será aproximadamente igual a 0,218 ou 0,202. Com esse valor, já podemos olhar para as nossas opções aqui e procurar as que possuem esse limite superior: só temos esta opção. Por desencargo de consciência, vou calcular o limite inferior também. Pegando a calculadora de volta, em vez de redigitar tudo, vou colocar um sinal de menos aqui, então, vou colocar o mesmo cálculo realizado antes e vou voltar até esta parte antes do radical e trocar o sinal de positivo por um negativo. Pronto, nosso limite inferior é -0,002. E isso é realmente o que está nesta opção. Então, sem dúvida, esta é a alternativa correta! Espero que você tenha compreendido tudo direitinho que vimos aqui. E até a próxima!