Teste de hipóteses para diferença em proporções

[RKA20C] Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo(a) a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre o teste de hipóteses quando estamos pensando sobre a diferença entre proporções de duas populações diferentes. Para isso, vamos observar este exemplo. É dito que aqui estão os resultados de uma pesquisa recente que envolveu a amostragem de eleitores de 2 distritos vizinhos, distrito A e distrito B, e as pessoas foram questionadas se apoiaram ou não uma nova lei. De cada distrito, pegamos uma amostra de 100 eleitores. Assim, somos capazes de calcular a proporção da amostra de quem apoiou a lei. Aqui, temos os dados combinados, incluindo a proporção combinada. Foi perguntado aqui se isso sugere uma diferença significativa entre os dois distritos. Para responder essa pergunta, a melhor coisa a fazer é realizar um teste de hipótese. A forma de fazer isso é definindo uma hipótese nula. Lembre-se de que nossa hipótese nula é aquela em que assumiríamos que não há diferença. Sendo assim, vamos considerar como verdadeiro que a proporção de pessoas no distrito A que apoia a nova lei é igual à proporção no distrito B que apoia a lei. Outra forma de pensar sobre isso é que a diferença entre as proporções é igual a 0. Já a nossa hipótese alternativa é que a diferença absoluta entre as proporções não é igual a 0. Se estivéssemos fazendo um teste de hipótese total, definiríamos um nível de significância, que, geralmente, denotamos aqui, com α. Muitas vezes, podemos ter um nível de significância de 10% ou 5%. Aqui, vou definir o nível de significância de 5%. Depois de fazer isso, a gente vai começar assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Assumindo que a hipótese nula é verdadeira, a gente vai calcular a probabilidade de obter uma diferença entre nossas proporções da amostra que seja igual a este extremo ou maior. Se a probabilidade for menor que o nosso nível de significância, então, rejeitaremos a hipótese nula, o que sugeriria a alternativa. Bem, antes de irmos mais a fundo em nossa inferência, precisamos verificar aqui as condições para inferência, e já vimos isso muitas vezes antes. Inicialmente, temos a nossa condição aleatória, onde precisamos estar confortáveis em dizer que as duas amostras aqui são verdadeiramente aleatórias. O que, de fato, é! Aí, também temos a nossa condição normal, que, para ser atendida, é preciso que a gente tenha pelo menos 10 sucessos e 10 falhas em cada uma dessas amostras. Aqui, observamos que temos pelo menos 10 sucessos e pelo menos 10 falhas em cada uma dessas amostras. Então, também atendemos essa condição. Por último, temos a condição de independência. A condição de independência é atendida quando você está realizando amostras com substituição, ou, caso não seja com substituição, você precisa que cada uma dessas amostras correspondam a um valor menor que 10% da população. Acho que podemos assumir que existem pelo menos 10.000 pessoas no distrito A e pelo menos 10.000 pessoas no distrito B. E isso permitirá atender a condição de independência. Agora, com isso fora do caminho, vamos assumir a hipótese nula e vamos começar pensando sobre amostragem de distribuição da diferença entre as proporções da amostra, assumindo, claro, essa hipótese nula. Então, a primeira coisa que quero pensar é qual vai ser o desvio-padrão da diferença das distribuições da amostragem. Bem, vimos em um vídeo anterior, quando falamos sobre diferenças de proporções, que podemos pensar aqui sobre a variância da distribuição de amostras e existe uma notação para isso. Portanto, a variância vai ser igual à variância da distribuição amostral da proporção da amostra do distrito A mais a variância da distribuição amostral da proporção da amostra do distrito B. Em geral, você pode descobrir a variância da distribuição amostral de uma proporção de amostra com a seguinte fórmula... Já vimos isso antes: a variância da distribuição amostral da proporção da amostra vai ser igual à nossa verdadeira proporção vezes 1 menos nossa verdadeira proporção. Tudo isso sobre o tamanho da amostra. Agora, em qualquer situação, não sabemos as verdadeiras proporções para o distrito A ou para o distrito B. É por isso que estamos fazendo esse teste de hipótese para começar. Mas podemos tentar estimar isso. Lembre-se: estamos assumindo que as verdadeiras proporções são iguais, mesmo que a gente não saiba quais elas são. E qual será a nossa melhor estimativa dessa verdadeira proporção se presumirmos que o distrito A e o distrito B não têm diferença em termos de números de pessoas que apoiam a nova lei? Bem, a melhor estimativa é realmente a amostra combinada. A proporção da amostra combinada, aqui. Então, para estimar esses valores, usamos essa proporção de amostra combinada no lugar de P aqui. Aí, podemos dizer que isso vai ser a nossa proporção de amostra combinada vezes 1 menos a nossa proporção da amostra combinada, sobre o tamanho da nossa amostra. E já que estamos assumindo que não há diferença entre o distrito A e o distrito B, isso também se aplica a isto aqui. Vamos escrever aqui embaixo, então, o desvio-padrão. O desvio-padrão da distribuição amostral da diferença das proporções da amostra do distrito A e do distrito B vai ser aproximadamente igual a... Lembre-se que não somos capazes de calcular o valor exato, mas estamos usando essa proporção combinada como a nossa melhor estimativa. Então, vamos fazer uma raiz quadrada aqui. Um grande radical. Nesse radical, colocamos 0,55 x 1 - 0,55, que é 0,45, tudo isso sobre 100. Mais 0,55... é a mesma coisa novamente, vezes 0,45. Lembre-se, é isso porque estamos assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Tudo isso sobre o tamanho da amostra, que é 100. Agora, podemos pegar nossa calculadora para realizar o cálculo. Assim, temos √0,55 x 0,45 / 100 Agora, poderia adicionar tudo isso de novo dentro da raiz, mas eu posso simplesmente multiplicar isso aqui por 2. Aí, clicando em igual, temos um resultado aproximadamente igual a 0,07. Logo, isso vai ser aproximadamente igual a 0,07. Agora, usando isso, podemos calcular um Z. Sendo assim, podemos pensar sobre qual é a probabilidade de obter um certo valor de Z para este extremo. Aí, com esse resultado, vamos calcular a probabilidade e comparar com o nosso nível de significância. O nosso Z é igual à diferença entre as proporções. No caso, P-chapéu A menos P-chapéu B sobre nosso desvio-padrão da distribuição de amostragem da diferença entre as proporções da amostra. Ou seja, vamos colocar isso sobre 0,07. Agora, isso vai ser igual a 0,58 - 0,52, que é igual a 0,06, sobre 0,07. Podemos pegar nossa calculadora para isso de novo. Assim, vamos pegar 0,06 e dividir por 0,07. Isso é aproximadamente igual a 0,86. Então, isso é aproximadamente 0,86. Qual é a probabilidade de obter algo tão extremo ou mais extremo? Bem, vamos visualizar isso em um gráfico? Se esta aqui é a nossa distribuição de amostragem da diferença entre nossas proporções de amostra e estamos assumindo a hipótese nula, então, a média de nossa distribuição amostral vai ser igual a 0. Acabamos de obter um resultado que é menos que um desvio-padrão acima da média. Isto aqui é um desvio-padrão, e aqui temos dois desvios-padrão acima da média. Aqui, temos um desvio-padrão abaixo da média, e aqui dois desvios-padrão abaixo. Acabamos de obter um resultado que nos coloca bem aqui. Aí, se fosse perguntado qual é a probabilidade de obter resultados, pelo menos neste extremo, deveríamos considerar toda esta área aqui e também toda esta área aqui do outro lado. Sabendo que isso é mais que 30%... Porque, mesmo se você excluir um desvio-padrão acima ou abaixo, se você diz algo mais extremo que isso, então, se você colocar esta área e esta área, você vai observar cerca de 31% ou 32%. Portanto, a probabilidade de obter algo pelo menos nesse extremo vai ser de mais de 30%. Então, definitivamente, vai ser maior do que o nosso nível de significância. Na verdade, é completamente razoável obter uma diferença nesse extremo se assumirmos que a hipótese nula é verdadeira. Em vídeos futuros, podemos ir ainda mais fundo, onde podemos apenas pesquisar isso em uma tabela Z para calcular essas áreas mais precisamente para, então, compará-las com o nosso nível de significância. Mas aqui não chega nem perto! Não estamos nem perto de sermos capazes de rejeitar a hipótese nula. Então, para responder a pergunta "Isso sugere uma diferença significativa entre os dois distritos?": não, a resposta é não. Espero que você tenha compreendido tudo direitinho. Mais uma vez, quero deixar para você um grande abraço. Até a próxima!