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Exemplo: como construir um intervalo t para uma média

Exemplo mostrando como calcular um intervalo t de uma amostra para uma média.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Uma nutricionista quer estimar o valor calórico médio dos burritos de um restaurante mexicano. Ela obteve uma amostra aleatória de 14 burritos e mediu o valor calórico deles. Os dados amostrais são praticamente simétricos em relação à média de 700 calorias e desvio-padrão de 50 calorias. Baseado nesta amostra, qual dos seguintes é um intervalo de confiança de 95% para a média de valor calórico desses burritos? Pause este vídeo e tente achar você mesmo a resposta. Vamos lá, então. Temos aqui uma população de burritos e a sua média populacional μ, que é um valor que a nutricionista não conhece. Mas ela tomou uma amostra dessa população, e essa amostra é de tamanho 14, portanto, n = 14. E ela calculou dois parâmetros estatísticos para a amostra, que foram: a média, de 700 calorias por burrito, e desvio-padrão amostral de 50 calorias. Nós queremos agora usar essas informações para construir um intervalo de confiança de 95%. O intervalo de confiança tem esta aparência: a média amostral, mais ou menos o valor crítico t*, vezes o desvio-padrão amostral, dividido pela raiz quadrada do número de elementos da amostra, que neste caso é 14. A razão pela qual estamos usando a estatística "t" é o fato de não termos a informação sobre o desvio-padrão populacional. Se nós conhecêssemos o desvio padrão-populacional, nós o usaríamos em vez de usar o desvio-padrão amostral, que é indicado por sigma, e nós poderíamos usar "z" ao invés de "t". Ou seja, usaríamos a tabela Z da estatística. Mas enfim, como nós não conhecemos o desvio-padrão populacional, usamos a estatística "t", a distribuição "t". Então, vamos lá. A média amostral é de 700 calorias, mais ou menos... E agora sim, qual vai ser o nosso valor crítico t*? Lembrando que queremos um intervalo de confiança de 95%. Agora é hora, então, de consultar a tabela T. Mas, para usar a tabela T, precisamos saber quantos graus de liberdade nós temos aqui. E vamos nos lembrar de que o número de graus de liberdade é o número de elementos da amostra, menos 1. Se temos uma amostra de 14 burritos, vamos ter: 14 - 1 = 13 graus de liberdade. Abrindo aqui a tabela T, procurando 95% de nível de confiança e 13 graus de liberdade. Temos bem aqui, vamos olhar para esta linha. E agora, se queremos nível de confiança de 95%, nós queremos analisar uma área sob a curva da distribuição normal abrangendo 95% da região. Ou seja, para as caudas, vai sobrar 2,5% para cada uma delas. Porque a área inteira sob a curva é 100%. Estamos olhando para 95%, que é a área pintada. Ou outros 5% ficam 2,5% para a direita e 2,5% para a esquerda. E 2,5%, em decimal, é 0,025. Está nesta coluna aqui. Agora, vamos achar a intersecção desta coluna com a linha dos 13 graus de liberdade. E achamos t*, o nosso valor crítico: 2,160. Voltando, então, aqui teremos 2,160 vezes o desvio-padrão amostral, que é 50, sobre a raiz quadrada de 14, que é o tamanho da amostra. Observe que todas as alternativas tem 700 ali. Ou seja, precisávamos saber direitinho qual é a nossa margem de erro. Vamos usar uma calculadora para chegar a ela. Digitando aqui: 2,160 vezes 50, dividido pela quadrada de 14. E o resultado que ela nos dá é 28,86. Então esta parte aqui, que é a nossa margem de erro, é 28,86 aproximadamente. Agora, para selecionar a alternativa correta, basta fazer a aproximação adequada. E 28,86 é mais próximo de 28,9. Temos, então, a alternativa D como correta para o intervalo que queríamos construir. Agora, uma coisa que precisamos manter em mente é: este é um intervalo de confiança válido? Ou seja, nós atendemos às condições para que o intervalo de confiança construído por este procedimento seja válido? Uma das condições para validar o nosso intervalo de confiança é que a amostra tenha sido coletada aleatoriamente. E, lendo aqui, nós temos a confirmação de que isso foi atendido. Segunda condição: esta distribuição amostral é normal? Se nós tivéssemos 30 ou mais amostras, seria normal, mas temos apenas 14. Mas foi dito a nós que os dados da amostra são simétricos em relação à média. Portanto, podemos considerá-la aproximadamente normal. A última condição é a condição de independência. Nós observamos se o tamanho da amostra é menor que ou igual a 10% do tamanho da população. Nós na verdade não temos uma informação certa sobre isso, mas, assumindo que nesse restaurante mexicano sejam feitos e vendidos mais de 140 burritos, nós poderíamos considerar que a condição de independência também está satisfeita. Então, assumindo que temos as condições para construir o intervalo de confiança, este da letra D é o que atende. Até o próximo vídeo!