Exemplo de teste de significância para uma proporção em uma questão de resposta aberta

RKA10C E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, vamos ver um exemplo a respeito de teste de significância para uma proporção em uma questão de resposta aberta. Para isso, temos o seguinte: algumas caixas de uma certa marca de cereal inclui um voucher para um aluguel de vídeo grátis dentro da caixa. A empresa que fabrica os cereais informa que o voucher pode ser encontrado em 20% das caixas. No entanto, com base em suas experiências comendo o cereal em casa, um grupo de alunos acredita que a proporção de caixas com vouchers é inferior a 20%. O grupo de alunos comprou 65 caixas do cereal para investigar e, caso necessário, fazer uma reclamação da empresa. Os alunos encontraram um total de 11 vouchers nas 65 caixas. Suponha que é razoável assumir que as 65 caixas compradas pelos alunos são de uma amostra aleatória do total de caixas fabricadas do cereal. Com base nessa amostra, os alunos estão corretos em afirmar que as caixas com vouchers são inferiores a 20%? Justifique sua resposta com evidências estatísticas. Sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. A primeira coisa que vou fazer aqui é escrever alguns dados, porque é algo que inicialmente você faria se estivesse resolvendo uma prova. E o que você deve pensar é: qual é a minha hipótese nula? E a alternativa? A hipótese nula é a hipótese que podemos anular ou não e, neste caso, é a proporção de vouchers dentro das caixas ser igual a 20%. Já a nossa hipótese alternativa é a hipótese da qual desconfiamos que, neste caso, é que essa proporção é inferior a 20%. Agora, o que você deve fazer é comparar o seu nível de significância preestabelecido com o seu valor P. Então, vamos assumir que o nível de significância seja α = 0,05. Agora, devemos pensar a respeito da amostra. Ou seja, se assumirmos que a hipótese nula é verdadeira, qual é a probabilidade de obtermos a proporção da amostra? Será que isto estará abaixo desse nível de significância? E, se este valor estiver abaixo do nível de significância, então, rejeitamos a hipótese nula e consideramos a hipótese alternativa. Então, a nossa amostra é n = 65, já que os alunos compraram um total de 65 caixas. A partir disso, podemos calcular a proporção da amostra, que é 11 em 65, ou seja, os estudantes encontraram 11 vouchers em 65 caixas compradas. Se você resolver isso, vai ser aproximadamente 0,169. Claro, na maioria das provas de estatística você pode utilizar uma calculadora. Então, contas desse tipo, você pode realizar com bastante facilidade. Uma outra coisa em que devemos prestar atenção antes de inferirmos algo é: será que estamos atendendo as condições para inferência? Isso é pensar se temos uma amostragem adequada da população. Ou seja, nossa amostragem é quase normal. A primeira condição é que a amostra deve ser aleatória. Ou seja, condição: aleatória. Sim, se você perceber, o exercício manda assumirmos que as 65 caixas compradas pelos alunos são de uma amostra aleatória. Então, por causa disso, a condição de aleatoriedade é atendida. E a próxima condição que deve ser atendida é a condição "normal". Quase normal. Para isso, o número da amostra multiplicado pela proporção, assumindo que essa hipótese nula é verdadeira, deve ser maior ou igual a 10. E n, que multiplica 1 menos a proporção da hipótese nula, tem que ser maior ou igual a 10 também. Veja bem, n vezes a proporção assumida vai ser a mesma coisa que 65 vezes 0,2, o que é igual a 13. E 13 é maior do que 10, ou seja, esta primeira parte é atendida. Se substituirmos n e P₀ aqui, vamos ficar com 65 vezes 1 menos 0,2, que dá 0,8... Então, 65 vezes 0,8 é igual a 52. 52 é maior ou igual a 10, isto aqui também é atendido. Portanto, a condição "normal" também é atendida. A última condição é a condição de independência. Não estamos testando as caixas com reposição, não é? Por isso, temos que ter certeza que essa amostra representa menos que 10% da população de caixas. Isso não fica bem explícito aqui. Então, vamos assumir que tem mais de 650 caixas na população. Isso implica que n é menor ou igual a 10% da população. E isso nos permite verificar essa condição de independência. Agora que as condições de inferência foram atendidas, vamos pensar sobre a distribuição da amostragem. A distribuição de amostragem da proporção da amostra, porque é isso que vamos utilizar para calcular o valor P. Sabemos algumas coisas importantes a respeito da proporção. Sabemos que a média dessa proporção é igual à proporção da hipótese nula, e o desvio-padrão dessa proporção é igual à raiz quadrada da proporção da hipótese nula, que multiplica 1 menos a proporção da hipótese nula, dividido por n. Isso vai ser igual à raiz quadrada de 0,2 vezes 0,8, dividido por 65. Se usarmos a calculadora, isso vai ser aproximadamente 0,0496. Agora, devemos calcular o valor P, que podemos calcular com o nosso nível de significância. A partir disso, decidimos se devemos rejeitar ou não a hipótese nula e sugerir a hipótese alternativa. Para descobrir o valor P, devemos calcular a nossa estatística Z, que é quantos desvios-padrão estamos acima ou abaixo da média da distribuição amostral. Já vimos que para calcular essa estatística pegamos a proporção da amostra e subtraímos pela proporção assumida, que é a proporção da hipótese nula, e dividimos isso pelo desvio-padrão da distribuição amostral. Isso vai nos dizer quantos desvios-padrão estamos acima ou abaixo da média da distribuição amostral. Isso vai ser igual a 0,169 menos 0,2, dividido por esse desvio-padrão, que é 0,0496. Se você utilizar a calculadora e realizar esse cálculo, vai encontrar o valor de Z aproximado de -0,625. Agora você pode calcular o seu valor P, que é a probabilidade de se obter uma proporção da amostra que é pelo menos tão baixa quanto a que obtivemos. Ou seja, a probabilidade da proporção da amostra tem que ser menor ou igual a 0,169, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Isso é a mesma coisa que a probabilidade de a estatística Z ser menor ou igual a -0,625. Podemos utilizar uma calculadora para resolver isso. Devemos vir aqui e procurar "distribuição"... Ou seja, aqui no número 2, que é uma distribuição acumulativa, o nosso limite inferior, podemos dizer que é infinito negativo. Já o nosso limite superior é -0,625. Aí, pulamos estas informações, clicamos em "Enter", e esta vai ser a probabilidade que estamos procurando. Então, aproximadamente 0,266. Podemos tirar uma prova real para ver se realmente fizemos certo. Se tivermos uma distribuição das proporções da amostra aqui, em que estamos assumindo que a hipótese nula é verdadeira, a média da amostra vai ser igual à nossa proporção assumida. O que significa esse resultado? Bem, se tivermos a nossa proporção da amostra bem aqui, qual é a probabilidade de obtermos um resultado menor do que essa proporção? É isso que calculamos aqui. Veja este resultado: a probabilidade é de quase 27%. E podemos comparar o nosso valor P ao nível de significância preestabelecido. Obviamente, esse valor P é maior do que o nível de significância, ou seja, 0,266 é maior do que 0,05. Como esse valor P é maior do que o nível de significância, vamos falhar se rejeitarmos a hipótese nula. Então, por causa disso, o grupo de estudantes vai falhar em rejeitar a hipótese nula. Isso porque não há evidências suficientes para sugerir a hipótese alternativa. Eles não podem afirmar que a probabilidade de se obter um voucher no total de caixas é menor do que 20%. Espero que esta aula tenha te ajudado. Até a próxima, pessoal!