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Adição e subtração com algarismos significativos

Transcrição de vídeo

RKA - Vimos no último vídeo que quando a gente multiplica ou divide números ou, acho que posso dizer quando multiplicamos ou dividimos medidas, seu resultado só pode ter tantos algarismos significativos quanto aquele com menos algarismos significativos que acabou de multiplicar e dividir. Então, só como um exemplo simples: se tenho 2,00 vezes, não sei, 3,5, minha resposta aqui só pode ter dois algarismos significativos. Isso tem dois algarismos significativos e isso tem três. 2 vezes 3 ponto 5 é 7, e podemos obter um zero à direita da vírgula, porque podemos ter dois algarismos significativos. Isso era 3, isso é 2. Apenas limitamos a 2, porque esse era o menor número de algarismos significativos que a gente tinha naqueles em que estávamos procurando o produto. Quando fazemos adição e subtração é um pouco diferente. E vou fazer um exemplo primeiro. Vou fazer uma espécie de exemplo numérico primeiro. E depois vou pensar num exemplo um pouco mais próximo da vida real. E, obviamente, até meus exemplos da vida real, não são realmente do mundo real. No meu último vídeo, eu falei sobre instalação de carpete, alguém com razão disse: "se você está instalando carpete, sempre quer arredondar para cima, isso porque é mais fácil cortar o excesso então alguém cola o carpete ali". Mas isso é particular do carpete, eu estava apenas dizendo que é uma maneira de pensar sobre precisão em algarismos significativos. Mas enfim, quando você soma ou subtrai, então esses algarismos significativos, ou esses números significativos, não importam tanto quanto a precisão real das coisas que está somando. Quantas casas decimais você vai usar? Por exemplo, se eu tivesse que somar 1,26 e tivesse que somar isso, digamos, 2,3. Se somar exatamente esses dois números, e vamos dizer que sejam medidas, então quando faz isso, esses são obviamente três algarismos significativos, estamos prontos para medir até o centésimo mais próximo. Aqui tem dois algarismos significativos. Então, três algarismos significativos, esses são dois algarismos significativos. Estamos prontos para medir até o décimo mais próximo. Eu vou anotar isso. Este é o centésimo, esse é o décimo. Quando soma ou subtrai números, sua resposta se fez isso, se a gente adicionar esses dois números, eu tenho o que? 3,56. A soma ou a diferença, qualquer um que calcule, você não conta algarismos significativos, não diz: "isso só pode ter dois algarismos significativos", o que diz é: "isso só pode ser tão preciso quanto o que tenho aqui de menos preciso". O menos preciso que tinha aqui é 2,3, só chegou a casa dos décimos. Então sua resposta só pode chegar a casa dos décimos. A gente precisa arredondar isso para cima, porque temos um 6 aqui, então arredondamos para cima. Se considerar algarismos significativos, isso vai se tornar um 3,6. E eu quero ser claro, desta vez funcionou porque isso também tem dois algarismos significativos, isso também tem dois algarismos significativos. Mas poderia ter sido, vou fazer outra situação. Poderia ter 1,26 mais 102,3. E teria conseguido, obviamente, 103,56. Nessa situação, isso aqui com certeza tem quatro algarismos significativos. Isso aqui tem três algarismos significativos, mas na nossa resposta a gente não quer ter três algarismos significativos. Queremos ter somente a exatidão do menos preciso que somamos. O menos preciso. Vamos apenas um algarismo antes do décimo aqui. Só podemos ir até o décimo. Apenas um algarismo além da vírgula aqui. Mais uma vez arredondamos para cima, até 103,6. E para ver porque faz sentido, vamos fazer um pouco de, um exemplo aqui com medida de alguma coisa de verdade. Digamos que a gente tem um bloco aqui. Eu vou desenhar esse bloco um pouco mais nítido. E digamos também que temos um medidor muito bom. Somos capazes de medir até o centímetro mais próximo. Temos, isso é 2,09 metros. Digamos que temos outro bloco. E esse é o outro bloco bem aqui. Temos um, vamos dizer que temos um medidor ainda mais preciso, que pode medir até o milímetro mais próximo e obtemos isso como 1,901 metros. Medindo até chegar aos milímetros mais próximos. E vamos dizer que aquelas medidas foram tomadas há muito tempo e não temos como fazer as medições novamente, mas alguém diz: "que altura teria se eu empilhasse o bloco azul no topo do bloco vermelho?" Assim, qual seria essa altura? Bom, se você não considerasse algarismos significativos ou precisão, literalmente faria a soma exata. Você somaria 1,901 mais o 2,09. Vou somar os dois. Se pegar 1,901 e somar a 2,09, você tem, 1 mais nada é 1, 0 + 9 é 9, 9 + 0 é 9. Você tem a vírgula em baixo de vírgula, 1 + 2 é 3. Então você tem 3,991. E o problema com isso, a razão pela qual isso é um pouco, é como deturpar a precisão da sua medição, você não sabe. Se eu dissesse que a torre tem 3,991 metros de altura, eu estou dando a entender que de alguma forma fui capaz de medir a torre inteira até chegar a milímetros. A realidade é que só seria capaz de medir parte da torre aos milímetros. Essa parte da torre era capaz de medir até o mais próximo dos centímetros. Então para deixar claro, nossa medição só é válida até aproximar do centímetro, porque tem mais erro aqui. Então devo desconsiderar ou ignorar a precisão que tínhamos nos milímetros aqui. Para esclarecer isso, temos que tornar tão preciso quanto a parte menos precisa que estamos somando. Até aqui, a parte menos precisa era, fomos até os centésimos, até aqui temos que arredondar até os centésimos, uma vez que 1 é menos que 5, vamos arredondar para baixo, e assim podemos dizer legitimamente, se a gente quer representar corretamente o que fizemos, que a torre tem 3,99 metros. E também quero deixar claro, que isso não se aplica só quando há uma vírgula. Se eu fosse te dizer que, digamos que eu tenha que medir, quero medir um prédio. Só seria capaz de medir o prédio aproximando da medida em 10 metros. Digo que esse prédio tem 350 metros de altura. Então esse é o prédio. Isto é um prédio. E vamos dizer que há um fabricante de antenas de rádio. Ou torres de rádio. E os fabricantes tinham medido suas torres aproximando a metros. E dizem que suas torres têm oito metros de altura. Olha, aqui eles mediram aproximando de 10 metros. Aqui mediram aproximando de metro em metro. E na realidade, para esclarecer, porque mais uma vez como disse, isso é ambíguo. Não é 100% claro quantos algarismos significativos existem. Talvez fosse exatamente 350 metros ou talvez apenas arredondaram para aproximar de 10 metros. Então a melhor forma de representar isso, eles diriam que em vez de escrever como 350, a melhor maneira de escrever seria 3,5 × 10² de altura. E quando está escrevendo uma notação científica, fica muito claro que só tem dois algarismos significativos aqui. Só está medindo a aproximação de 10 metros. Outra forma de representar, poderia escrever 350. Essa notação tem feito o último, mas às vezes, o último algarismo significativo tem uma linha em cima dele. Ou o último algarismo significativo tem uma linha abaixo dele. Qualquer uma delas é uma forma de especificar, essa é provavelmente a menos ambígua. Mas supondo que eles só tomam medidas aproximando de 10 metros. Se alguém fosse te perguntar: que altura tem o prédio mais a torre? Sua primeira reação seria: vamos somar exatamente o 350 + 8, você tem 358. Então esse é o prédio mais a torre. 358 metros. Por mais uma vez estamos deturpando, estamos fazendo parecer que somos capazes de medir a combinação aproximando em metros. Mas fomos capazes apenas de medir a torre até o mais próximo a pé. Então, a fim de representar nossa medição no nível de precisão que de fato fizemos, realmente temos que arrendondar isso para o mais próximo de 10 metros. Porque era nossa medição menos precisa, então poderemos realmente arredondar para cima. 8 é maior ou igual a 5, arredondamos para 360 metros. Mais uma vez, qualquer que seja, só para esclarecer, até essa ambiguidade, talvez a gente coloque uma linha acima para mostrar que é nosso nível de precisão. Que temos dois algarismos significativos, ou escrever isso como 3,6 × 10², que é vezes 100. 3,6 × 10² metros na notação científica. E isso deixa claro que só temos dois algarismos significativos aqui.