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Curso: Geometria básica e medidas > Unidade 14

Lição 3: Rotações
Matemática
Geometria básica e medidas
Transformações geométricas
Rotações
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Determinar rotações

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Aprenda a determinar que rotação transforma uma forma dada em outra forma dada.
Toda rotação tem duas propriedades: o centro e o ângulo.

Determinação do centro de rotação

As rotações preservam a distância, portanto o centro de rotação deve ser equidistante ao ponto P e à imagem P′. Isso significa que o centro de rotação deve ficar na mediatriz de PP′―.
O ponto P e o ponto P linha são equidistantes do eixo de simetria. Há 4 pontos marcados no eixo de simetria. O segmento que vai de P até cada um dos pontos marcados é congruente ao segmento correspondente que vai do ponto P linha até o mesmo ponto.
Se pegássemos os segmentos que conectam todos os pontos da imagem aos pontos correspondentes da figura original, o centro de rotação fica na interceptação das mediatrizes de todos esses segmentos.

Exemplo

Vamos encontrar o centro de rotação que transforma △ABC em △A′B′C′.
Uma pré-imagem de um triângulo A B C e sua imagem, A linha, B linha e C linha. Na pré-imagem do triângulo, o vértice A está em sete horas, o vértice B está em aproximadamente doze horas e o vértice C está em aproximadamente três horas. Na imagem do triângulo, o vértice A linha está em duas horas, o vértice B linha está em sete horas e o vértice C linha está localizado em dez horas.
O centro de rotação deve ser na mediatriz de AA′―
Uma pré-imagem de um triângulo A B C e sua imagem, A linha, B linha e C linha. Na pré-imagem do triângulo, o vértice A está em sete horas, o vértice B está em aproximadamente doze horas e o vértice C está em aproximadamente três horas. Na imagem do triângulo, o vértice A linha está em duas horas, o vértice B linha está em sete horas e o vértice C linha está localizado em dez horas. Um segmento de reta contínuo tem suas extremidades nos vértices A e A linha. Uma reta tracejada bissecciona a reta contínua, formando um ângulo de noventa graus.
O centro de rotação também deve estar na mediatriz de BB′―.
Uma pré-imagem de um triângulo A B C e sua imagem, A linha, B linha e C linha. Na pré-imagem do triângulo, o vértice A está em sete horas, o vértice B está em aproximadamente doze horas e o vértice C está em aproximadamente três horas. Na imagem do triângulo, o vértice A linha está em duas horas, o vértice B linha está em sete horas e o vértice C linha está localizado em dez horas. Um segmento de reta contínuo tem suas extremidades nos vértices A e A linha. Uma reta tracejada bissecciona o segmento de reta contínuo, formando um ângulo de noventa graus. Outro segmento de reta contínuo tem suas extremidades nos vértices B e B linha. Uma reta tracejada bissecciona esse segmento formando um ângulo de noventa graus. Há um ponto no local em que as duas retas tracejadas se interceptam.
Também poderíamos verificar a mediatriz de CC′―, mas não precisamos fazer isso. Como todas as mediatrizes se interceptam no mesmo ponto, basta verificar duas delas.
Uma pré-imagem de um triângulo A B C e sua imagem, A linha, B linha e C linha. Na pré-imagem do triângulo, o vértice A está em sete horas, o vértice B está em aproximadamente doze horas e o vértice C está em aproximadamente três horas. Na imagem do triângulo, o vértice A linha está em duas horas, o vértice B linha está em sete horas e o vértice C linha está localizado em dez horas. Um segmento de reta contínuo tem suas extremidades nos vértices A e A linha. Uma reta tracejada bissecciona a reta contínua, formando um ângulo de noventa graus. Outro segmento de reta contínuo tem suas extremidades nos vértices B e B linha. Uma reta tracejada bissecciona essa reta contínua, formando um ângulo de noventa graus. Um terceiro segmento de reta contínuo tem suas extremidades nos vértices C e C linha. Uma terceira reta tracejada bissecciona essa reta contínua, formando um ângulo de noventa graus. Um ponto está posicionado onde as três linhas tracejadas se interceptam.

Vamos tentar!

Problema 1.1
△A′B′C′ é a imagem de △ABC após uma rotação.
O triângulo ABC é girado para formar o triângulo A linha, B linha e C linha. O ponto N está mais perto do ponto B do que do ponto B linha. O ponto P está mais perto do ponto A linha do que do ponto A. O ponto M está mais perto do ponto A linha do que do ponto A, mas não tão perto quanto o ponto P. O ponto Q é equidistante dos pontos B e B linha.
Qual ponto é o centro de rotação?
Escolha 1 resposta:

Determinação do ângulo de rotação

Depois de encontrar o centro de rotação, temos várias opções para determinar o ângulo de rotação.
Por fim, precisamos determinar se a rotação é no sentido anti-horário, com um ângulo de rotação positivo, ou no sentido horário, com um ângulo de rotação negativo.

Exemplo

Vamos estimar o ângulo de rotação que transforma △ABC em △A′B′C′ sobre o ponto P.
O triângulo ABC é girado sobre o ponto P para formar o triângulo A linha, B linha e C linha. O ponto B está em aproximadamente doze horas em relação ao ponto P. O ponto B linha está em aproximadamente sete horas em relação ao ponto P.
Podemos comparar m∠APA′ aos ângulos de referência.
O triângulo ABC é girado sobre o ponto P para formar o triângulo A linha, B linha e C linha. Os dois triângulos estão desenhados em um compasso circular. O ângulo A P A linha está identificado e a medida do ângulo está mais próxima de cento e oitenta graus do que de noventa graus.
A medida do ângulo está ligeiramente mais próxima de 180° do que de 90°. Poderíamos dividir o círculo em mais partes iguais para obter uma estimativa mais próxima.
O triângulo ABC é girado sobre o ponto P para formar o triângulo A linha, B linha e C linha. Os dois triângulos estão desenhados em um compasso circular. O ângulo A P A linha está identificado e a medida do ângulo está aproximadamente no meio do caminho entre cento e trinta e cinco graus e cento e oitenta graus.
Podemos estimar que o ângulo está entre 150° e 160°, mas precisaríamos medir para ter certeza.
Também poderíamos ter medido no sentido horário, mas, assim, teríamos que usar uma medida de ângulo negativa. Demos um pouco mais do que metade de uma volta no sentido horário, portanto podemos estimar que a medida do ângulo é de aproximadamente −200°.

Vamos tentar!

Problema 2.1
O triângulo △A′B′C′ é a imagem de △ABC após uma rotação ao redor do ponto P.
A pré-imagem de um triângulo A B C e a imagem de um triângulo A linha, B linha e C linha. A pré-imagem do triângulo está acima da imagem do triângulo. O vértice A está em sete horas. O vértice B está em dez horas. O vértice C está em cinco horas. O vértice A linha está em quatro horas. B linha está em sete horas. C linha está em duas horas.
Qual é a melhor estimativa do ângulo de rotação?
Escolha 1 resposta:

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