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Geometria básica e medidas

Curso: Geometria básica e medidas > Unidade 14

Lição 3: Rotações
Matemática
Geometria básica e medidas
Transformações geométricas
Rotações
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Introdução às rotações

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Aprenda o que são rotações e como realizá-las em nosso widget interativo.

O que é uma rotação?

Na figura abaixo, uma cópia de um trapezoide está girando ao redor do ponto.
Um trapezoide dentro de um círculo. O trapezoide está sendo girado em torno do centro do círculo. Dois lados do trapezoide são paralelos. Os outros dois lados do trapezoide são congruentes.
Na geometria, as rotações fazem as coisas girarem ao redor de um ponto central definido. Observe que a distância de cada ponto rotacionado até o ponto central permanece a mesma. Apenas a posição relativa é alterada.
Na figura abaixo, uma cópia do octógono é rotacionada 22° ao redor do ponto.
Um octógono côncavo. O contorno do octógono côncavo é girado vinte e dois graus em torno de um dos pontos do octógono.
Observe como os lados do octógono mudam de direção, mas a forma geral continua igual. As rotações não distorcem as formas, elas apenas as giram. Além disso, observe que o vértice, que é o centro da rotação, não se move.
Agora que temos um entendimento básico do que são rotações, vamos aprender a usá-las de forma mais exata.

O ângulo de rotação

Toda rotação é definida por dois parâmetros importantes: o centro de rotação — nós já discutimos isso — e o ângulo de rotação. O ângulo determina quanto nós rotacionamos o plano ao redor do centro.
O ponto A é girado sobre o ponto P no sentido anti-horário para formar A linha.
Por exemplo, podemos dizer que A′ é o resultado da rotação de A ao redor de P, mas isso não é suficientemente exato.
Para definir a medida da rotação, examinamos o ângulo que é criado entre os segmentos PA― e PA′―.
O segmento PA é girado sobre o ponto P em quarenta e cinco graus no sentido anti-horário para formar o segmento PA linha.
Desta forma, podemos dizer que A′ é o resultado da rotação de A em 45° ao redor de P.

Rotações nos sentidos horário e anti-horário

É assim que identificamos numericamente os quadrantes do plano cartesiano.
Um plano cartesiano em branco com o eixo horizontal identificado como x e o eixo vertical identificado como y. O quadrante superior direito está identificado como quadrante um. O quadrante superior esquerdo está identificado como quadrante dois. O quadrante inferior esquerdo está identificado como quadrante três. O quadrante inferior direito está identificado como quadrante quatro.
Os números dos quadrantes aumentam à medida que nos movemos no sentido anti-horário. Medimos os ângulos da mesma maneira para sermos consistentes.
Por convenção, as medidas de ângulo positivas descrevem rotações anti-horárias. Se quisermos descrever uma rotação no sentido horário, devemos usar medidas de ângulo negativas.
A figura original de um segmento de reta em que um ponto de extremidade rotulado de P gira a outra parte do segmento de reta e outro ponto de extremidade em sentido horário em trinta graus negativos.
Por exemplo, esse é o resultado da rotação de −30° de um ponto em torno de P.

Figuras originais e imagens

Em qualquer transformação, temos a figura original, que é a figura na qual estamos aplicando a transformação, e a imagem, que é o resultado da transformação. Por exemplo, em nossa rotação o ponto da figura original era A e o da imagem era A′.
Observe que indicamos a imagem como A′— pronunciada como "A linha". É comum, ao trabalhar com transformações, usar a mesma letra para a imagem e para a figura original, simplesmente adicionando o sufixo "linha" à imagem.

Vamos resolver alguns problemas

Problema 1
Represente a imagem do ponto A depois de uma rotação de −120° ao redor de P.

Desafios

Desafio 1
R, S e T são todos imagens de Q após diferentes rotações.
O ponto P é o centro da imagem. O ponto R está a doze horas em relação ao ponto P. O ponto Q está a três horas em relação ao ponto P. O ponto T situa-se a seis horas em relação ao ponto P. O ponto S situa-se a nove horas em relação ao ponto P.
Faça a correspondência entre cada imagem e a rotação apropriada.
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