Aprenda a encontrar a translação necessária para traçar uma forma fonte dada em uma forma imagem dada.
Neste artigo, vamos resolver problemas em que temos coordenadas iniciais e finais, e temos que descobrir qual translação deve ter ocorrido.

Parte 1: Determinação da translação de um único par de pontos

Vamos estudar um exemplo de problema

Uma translação transforma o ponto A(3,7)A(3,7) no ponto A(6,2)A'(6,-2). Vamos determinar qual é essa translação.

Solução

Etapa 1: Deslocamento horizontal. AA é deslocado 33 unidades para a direita, porque (6)(3)=+3(6)-(3)=\tealD{+3}.
Etapa 2: Deslocamento vertical. AA é deslocado 99 unidades para baixo, porque (2)(7)=9(-2)-(7)=\maroonD{-9}.
A resposta: AA é transformado em AA' depois de uma translação por 3,9\langle \tealD{3},\maroonD{-9} \rangle.

Sua vez!

Problema 1

Determine a translação que transforma o ponto B(2,1)B(2,1) no ponto B(4,5)B'(-4,5).
\langle
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
,,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
\rangle

Etapa 1: Deslocamento horizontal. BB é deslocado 66 unidades para a esquerda, porque (4)(2)=6(-4)-(2)=\tealD{-6}.
Etapa 2: Deslocamento vertical. BB é deslocado 44 unidades para cima, porque (5)(1)=+4(5)-(1)=\maroonD{+4}.
A resposta: BB é traçado em BB' depois de uma translação de 6,4\langle \tealD{-6},\maroonD{4} \rangle.

Problema 2

Determine a translação que transforma o ponto C(7,5)C(7,5) no ponto C(5,5)C'(5,5).
\langle
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
,,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
\rangle

Etapa 1: Deslocamento horizontal. CC é deslocado 22 unidades para a esquerda, porque (5)(7)=2(5)-(7)=\tealD{-2}.
Etapa 2: Deslocamento vertical. CC não é deslocado verticalmente, porque (5)(5)=0(5)-(5)=\maroonD{0}.
A resposta: CC é transformado em CC' depois de uma translação por 2,0\langle \tealD{-2},\maroonD{0} \rangle.

Problema 3

Em geral, que cálculo nos dá o deslocamento vertical exato de uma translação do ponto PP para o ponto PP'?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Vamos denotar as coordenadas de PP por (x1,y1)(x_1,y_1), as coordenadas de PP' por (x2,y2)(x_2,y_2), e a translação de PP para PP' como a,b\langle a, b \rangle.
Podemos obter PP' somando o deslocamento horizontal aa à coordenada xx de PP (x1x_1) e o deslocamento vertical bb à coordenada yy de PP (y1y_1). Isso é expresso pelas duas equações a seguir:
I. x1+a=x2\text{I. }x_1+a=x_2
II. y1+b=y2\text{II. }y_1+b=y_2
Calcular bb na segunda equação nos dá b=y2y1b=y_2-y_1, o que significa que o deslocamento vertical é a coordenada yy de PP' menos a coordenada yy de PP.

Desafio

Uma certa translação leva o ponto D(3,10)D(-3,10) até o ponto D(12,21)D'(-12,21).
Qual é a imagem de E(17,9)E(17,-9) depois dessa translação?
((
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
,,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
))

Parte 2: Determinação da translação de um par de polígonos

Vamos estudar um exemplo de problema

Considere os quadriláteros mostrados abaixo. Vamos determinar a translação que transforma a fonte FGHI\blueD{FGHI} na imagem FGHI\maroonD{F'G'H'I'}.

Solução

Vamos nos concentrar em um par de pontos correspondentes, como F(4,6)F(-4,6) e F(2,3)F'(2,3). Se pudermos encontrar a translação que leva FF até FF' saberemos, necessariamente, qual é a translação que leva todo o quadrilátero inicial até sua imagem!
Deslocamento horizontal: (2)(4)=+6(2)-(-4)=\tealD{+6}
Deslocamento vertical: (3)(6)=3(3)-(6)=\maroonD{-3}
Portanto, FGHIFGHI se transforma em FGHIF'G'H'I' depois de uma translação por 6,3\langle\tealD{6},\maroonD{-3}\rangle.

Sua vez!

Determine a translação que transforma JKL\blueD{\triangle JKL} em JKL\maroonD{\triangle J'K'L'}.
\langle
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
,,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
\rangle

A translação transforma o ponto K(8,3)K(8,-3) no ponto K(4,4)K'(4,4).