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Demonstração de Bhaskara do teorema de Pitágoras

Transcrição de vídeo

RKA - Vou comprovar agora uma coisa que é creditada ao matemático indiano do século XII, Bhaskara. A gente começa com um quadrado. Deixa ver se eu consigo desenhar um quadrado um pouco inclinado na direção de um ângulo, porque eu acho que vai facilitar as coisas. Vou tentar desenhar o melhor possível para que se pareça razoavelmente com um quadrado. Paciência comigo heim, gente? hã... Ficou... ficou bom. Pressuponho que seja um quadrado, este é um ângulo reto, este é um ângulo reto, esse é um ângulo reto e esse é um ângulo reto. Estou pressupondo que os comprimentos de todos esses lados são iguais, todos eles tenham comprimento c. Vou escrever em amarelo: todos os lados do quadrado têm o comprimento c. Agora vou construir quatro triângulos dentro desse quadrado e fazer isso traçando uma linha para baixo. Aqui vou reto pra baixo e traçar uma linha para baixo... e desenhar um triângulo parecido com isso, vou traçar para baixo e aqui traçar uma linha transversal. Como essa linha vai diretamente para baixo e essa transversal, sabemos que é um ângulo reto. Depois desse vértice do quadrado vou traçar uma linha reta para cima, e como essa linha vai para cima, e essa é transversal, a gente sabe que este é um ângulo reto. Depois desse vértice vou traçar uma linha horizontal... Estou pressupondo que é o que eu estou fazendo. Assim sabemos que será um ângulo reto e que isso será um ângulo reto. Podemos ver que construímos do nosso quadrado quatro triângulos retângulos e no meio deles tem alguma coisa que no mínimo se parece com um retângulo, ou possivelmente um quadrado, ainda não comprovamos que é um quadrado. Agora a próxima coisa que eu quero pensar é se esses triângulos são congruentes. Todos definitivamente têm o mesmo comprimento de hipotenusa. Todas as hipotenus... não sei qual é o plural de hipotenusa, acho que é hipotenusas. Todas elas têm o comprimento c. Um lado oposto ao ângulo reto sempre tem o comprimento c. Assim, se conseguir mostrar que todos os ângulos correspondentes são iguais, então saberemos que são congruentes. Se tem algo onde todos os ângulos são iguais e um lado que também é o lado correspondente também é congruente, então todos os triângulos são congruentes. Podemos mostrar pressupondo que este ângulo é teta, esse ângulo tem que ser 90 menos teta porque juntos são complementares. Sabemos disso porque eles se combinam para formar esse ângulo do quadrado, esse ângulo reto. E este é 90 menos teta, sabemos que esse ângulo e esse ângulo somam 90 porque só tem 90 quando subtraímos o ângulo reto de 180. Sabemos que este deve ser teta e se este é teta, então esse é 90 menos teta. Acho que já perceberam no que isso vai dar né? Se esse é 90 menos teta, esse deve ser teta e se esse é teta então esse é 90 menos teta, se esse é 90 menos teta então esse é teta e esse aqui tem que ser 90 menos teta. Vemos então em todos esses quatro triângulos que os três ângulos são teta, 90 menos teta e 90 graus, portanto todos têm exatamente o mesmo ângulo, No mínimo são similares e suas hipotenusas são iguais. De forma que sabemos que todos esses quatro triângulos são completamente congruentes. Com essa premissa, vamos pressupor que o lado mais comprido desses triângulos tem o comprimento b. Vou pressupor que o lado mais comprido desses triângulos tem o comprimento b. Então, vou chamar esse comprimento de b minúsculo e vamos pressupor que o lado mais curto, então essa distância aqui, essa distância aqui, essa distância aqui, que elas são todas... Todas elas têm o comprimento a. Se eu dissesse que essa altura aqui, nessa altura tem o cumprimento a. Agora vamos fazer uma coisa interessante, primeiro vamos pensar sobre a área de todo o quadrado. Qual é a área de todo o quadrado em termos de c? Bom é fácil, ele é um quadrado de c por c, essa área é igual a c ao quadrado. C ao quadrado. O que eu vou fazer é reordenar agora dois destes triângulos e depois descobrir a área dessa outra figura em termos dos a's e b's e espero que isso nos leve para o Teorema de Pitágoras. Para não perder nosso ponto de partida, porque ele é interessante, eu vou copiar e colar toda essa figura... Não quero cortá-la, só copiar e colar a figura. Copiar e colar, esse é nosso diagrama original. Apago isso... e agora inverto. Essa é a parte legal! Eu vou inverter esse triângulo na parte superior esquerda. Vou invertê-lo para baixo desse triângulo na parte inferior direita e tentar fazer copiando e colando. Vamos ver o quanto... do jeito que eu desenhei não tá... Acho que dá pra fazer assim: quero manter um pouco do... vou copiar e colar, vou copiar, cortar, depois colar. Esse triângulo eu coloco aqui, traço as linhas que eu acabei de apagar... Para que fique claro, a gente tinha uma linha aqui e também esta aqui. Essa linha reta é de cima pra baixo e essas iam de um lado para o outro. Movi agora essa parte aqui para baixo. Eu movi para baixo. Agora vou mover esse triângulo de cima para a parte inferior esquerda. Eu só estou reordenando exatamente a mesma área para tentar capturar toda a coisa da melhor forma possível. Vou cortar e depois colar, e eu vou mover pra cá. Ao fazer isso eu perdi sua base, então vou traçar a base de novo. Só movi para cá. Essa coisa, esse triângulo, agora do outro lado, esse triângulo está agora em baixo. O quadrado no centro é um quadrado está agora aqui, eu espero que vocês tenham entendido como eu reordenei tudo. É a minha pergunta é: como podemos expressar a área dessa nova figura que tem exatamente a mesma área da figura original, sendo que só reordenei partes dela? Como podemos expressar, em termos de a e b? A chave é reconhecer o comprimento deste lado inferior. Qual é o comprimento deste lado inferior aqui? O comprimento deste lado inferior? Esse comprimento é b, esse comprimento aqui é a, o comprimento de todo o lado inferior é a mais b, e por si só é interessante. Mas o que a gente pode perceber é que este comprimento é exatamente a mesma coisa que este comprimento também era, a. Dá pra construir um quadrado de a por a. Então, esse quadrado tem uma área de a por a, então tem uma área de a ao quadrado. Vou escrever com uma cor visível. Tem uma área de a ao quadrado. E qual é a área das partes restantes? Se este é o comprimento a, então esse também é o comprimento a. Se toda essa parte inferior é a mais b, sabemos que o restante, após subtrair o a, tem que ser b. Se toda essa coisa é a mais b, é a e aqui é b, assim o restante dessa figura reordenada, dessa nova figura, tudo isso que estou sombreando, Simplesmente é um quadrado de b por b. Esta área é b ao quadrado. Então, toda a área dessa figura é a ao quadrado mais b ao quadrado, que para nossa sorte é igual a área disso, é expressa em termos de c porque ela é exatamente a mesma figura, só que reordenada. Então será igual a c ao quadrado. E tudo deu certo, e Bhaskara nos deu uma prova muito bacana do Teorema de Pitágoras. Espero que tenha curtido.