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Demonstração de Garfield do Teorema de Pitágoras

Transcrição de vídeo

nesse vídeo vamos examinar uma comprovação do teorema de pitágoras que foi descoberta por james garfield em 1876 james garfield e o fascinante é que ele não era um matemático profissional talvez conheçam games garfield como o 20º presidente dos estados unidos ele foi eleito presidente em 1880 e tomou posse em 1881 fez esta comprovação enquanto era um membro titular da câmara dos deputados dos estados unidos e interessante é que berlim com não foi o único político dos estados unidos o único presidente dos estados unidos que se interessava por geometria o que garfield percebeu é que se construíssemos um triângulo retângulo vou tentar desenhar o triângulo bem agora vamos dizer que este lado tem o comprimento b digamos que este lado tem o comprimento a e este lado é a hipotenusa do meu triângulo retângulo e tenham cumprimentos e conseguir construir um triângulo retângulo e vou deixar bem claro isto é um triângulo retângulo basicamente ele inverteu e gerou esse triângulo retângulo para construir outro que fosse congruente com o primeiro vamos então desenhar o outro teremos o comprimento b que é co linear com o cumprimento a decorre ao longo da mesma linha eles não se sobrepõe este é o lado com o comprimento b e depois tem um lado com o cumprimento ou desenhar de forma que seja um pouco mais alto o lado com o comprimento b depois tem um lado com o comprimento a em um ângulo reto o lado com o comprimento a sai de um ângulo reto ea seguir tem um lado com comprimentos e cumprimentos e agora a primeira coisa que precisamos pensar é qual é o ângulo entre esses dois lados qual este ângulo misterioso que será este ângulo misterioso ele se parece com alguma coisa mas vamos ver se conseguimos provar que ele é realmente o que achamos que é se olhar para este o triângulo original chamado ângulo vamos chamá-lo de teta o que será este ângulo aqui que está entre os lados com comprimento ae cumprimentos e qual será a medida deste ângulo bom neta mas este ângulo devem somar 90 porque se somar os dois totalizam 90 depois temos outro ângulo de 90 teremos 180 graus para os ângulos internos deste triângulo a soma desses dois deve ser 90 é esse ângulo será 90 - teta se esse triângulo parece congruente e nós construímos pra ser congruente o ângulo correspondente a este é este ângulo aqui e se também ser atleta e esse aqui será 90 menos tenta portanto dado que este atleta e esse 90 - teta quanto será o nosso ângulo todos em conjunto totalizam 180 temos então teta mais 90 - teta mais nosso ângulo misterioso que será igual a 180 graus os tetras se cancelam neta - teta e tem que 90 mais o nosso ângulo misterioso são 180 graus subtraímos 90 dos dois lados e tem um ângulo misterioso que é igual a 90 graus tudo certo até aqui vou apagar isso aqui isso vai ser útil para mais tarde vai ser útil agora a gente pode afirmar com certeza que este ângulo tem 90 graus este é um ângulo reto agora a gente vai construir um trapézio um trapézio o lado a é paralelo ao lado b aqui embaixo da forma que ele foi construído esse é apenas um lado aqui esta linha sob direto e vamos conectar esses dois lados aqui tem duas maneiras de pensar sobre a área desse trapézio uma delas é que poderia pensar como um trapézio e descobrir sua área e depois poderia pensar como a soma da área dos seus componentes então vamos pensar primeiro nesse como um trapézio daí sabemos sobre a área de um trapézio a área de um trapézio ser a altura do trapézio que é a mais b a mais b esta é a altura do trapézio vezes a mediana da parte superior e inferior ou a média da parte superior e inferior como aquilo é isto vezes meio vezes a mais b a mais b ea intuição é pegar a altura vezes a média dessa parte inferior e superior à média da parte inferior e superior vai nos dar a área do trapézio como poderia também descobrir a área com seus componentes independentemente de como calculamos a área desde que façamos as coisas corretas a gente vai obter o mesmo resultado então como dá pra descobrir essa área de outra forma a gente diz que ela é a área destes dois triângulos retângulos a área de cada um deles é meio a vezes b mas tem dois deles eu vou usar a mesma cor o bê tem dois desses triângulos retângulos e vamos então multiplicar por 2 duas vezes meio a b que leva em consideração esse triângulo retângulo inferior e esse triângulo de cima qual é a desse triângulo maior que eu vou colorir com verde qual é a área desse triângulo maior é muito fácil ela é meio cvc então mais meios e vezes e que é meios e ao quadrado vamos agora simplificar e ver o que vamos obter acho que já perceberam onde vamos chegar aqui vamos ver o que obteremos e reordenar isso meio vezes a mais b ao quadrado a + b ao quadrado será igual a 22 às vezes meio vai ser simplesmente um será igual à a vezes b mais meios e ao quadrado meios e ao quadrado eu não gosto desses meio espalhados então vamos multiplicar os dois lados dessa equação por dois só multiplicar os dois lados dessa equação por 21 lado esquerdo ficou apenas com a + b ao quadrado a + b ao quadrado e no lado direito eu fico com 2 a b2 ab estou tentando usar sempre as mesmas cores depois 2 vezes meios é o quadrado será seu quadrado mas seu quadrado o que acontece se multiplicar a + b por a mais b quanto é a mais bem ao quadrado será ao quadrado mais mas 2ab mais beal quadrada b ao quadrado e no nosso lado direito será igual a tudo isto ficar trocando de cores é trabalhoso pra mim ver então eu vou copiar e colar ou copiar e colar então ainda será igual ao lado direito interessante como podemos simplificar isso tem alguma coisa que possa ser subtraída dos dois lados claro temos dois a menos lado esquerdo temos dois sabem no lado direito vamos subtrair 2 saber dos dois lados se subtrair 2 saber dos dois lados o que vamos obter teremos o teorema de pitágoras nós obtemos ao quadrado mais b ao quadrado é igual à ce ao quadrado não é fascinante e por isso tenho que agradecer ao 20º presidente dos estados unidos james garfield porque isso realmente é fascinante o teorema de pitágoras foi criado milhares de anos antes de james garfield e ele conseguiu contribuir experimentando enquanto era um membro da câmara de deputados dos todos unidos parabéns