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Demonstração de Garfield do Teorema de Pitágoras

Transcrição de vídeo

RKA - Nesse vídeo vamos examinar uma comprovação do Teorema de Pitágoras que foi descoberta por James Garfield em 1876. James Garfield. E o fascinante é que ele não era um matemático profissional. Talvez conheçam James Garfield como o vigésimo presidente dos Estados Unidos, ele foi eleito presidente em 1880 e tomou posse em 1881. Ele fez esta comprovação enquanto era um membro titular da câmara dos deputados dos Estados Unidos e interessante é que Abraham Lincoln não foi o único político dos Estados Unidos ou o único presidente dos Estados Unidos que se interessava por geometria. O que Garfield percebeu é que se construíssemos um triângulo retângulo... Vou tentar desenhar o triângulo bem agora, Vamos dizer que este lado tem comprimento b, digamos que este lado tem comprimento a, e este lado é a hipotenusa do meu triângulo retângulo e tem comprimento c. Consegui construir um triângulo retângulo e vou deixar bem claro. Isto é um triângulo retângulo. Basicamente ele inverteu e girou esse triângulo retângulo para construir outro que fosse congruente com o primeiro. Vamos então desenhar o outro. Teremos o comprimento b que é colinear com o comprimento a e corre ao longo da mesma linha. Eles não se sobrepõem. Este é o lado com comprimento b e depois tem um lado com comprimento... Vou desenhar de forma que seja um pouco mais alto. O lado com comprimento b, depois tem um lado com comprimento a em um ângulo reto, o lado com comprimento a sai de um ângulo reto... e a seguir tem um lado com comprimento c. Comprimento c. Agora, a primeira coisa em que precisamos pensar é qual é o ângulo entre esses dois lados. Qual é este ângulo misterioso, o que será este ângulo misterioso? Ele se parece com alguma coisa, mas vamos ver se conseguimos provar que ele é realmente o que achamos que é. Se olhar para este triângulo original chamado... ângulo... Vamos chamá-lo de teta, o que será este ângulo aqui que está entre os lados com comprimento a e comprimento c, qual será a medida deste ângulo? Bom, teta mas este ângulo devem somar 90, porque se somar os dois totaliza 90, depois temos outro ângulo de 90, teremos 180 graus para os ângulos internos deste triângulo. A soma desses dois deve ser 90. Esse ângulo será 90 menos teta. Se esse triângulo parece congruente, e nós o construímos pra ser congruente, o ângulo correspondente a este é este ângulo aqui. Esse também será teta e esse aqui será 90 menos teta. Portanto, dado que este é teta e esse 90 menos teta, quanto será o nosso ângulo? Todos em conjunto totalizam 180, temos então teta mais 90 menos teta, mais nosso ângulo misterioso, que será igual a 180 graus. Os tetas se cancelam, teta menos teta, e tem que 90 mais o nosso ângulo misterioso são 180 graus, subtraímos 90 dos dois lados e tem um ângulo misterioso que é igual a 90 graus. Tudo certo até aqui. Vou apagar isso aqui... E isso vai ser útil para mais tarde. Vai ser útil. Agora a gente pode afirmar com certeza que este ângulo tem 90 graus. Este é um ângulo reto. Agora a gente vai construir um trapézio. Um trapézio. O lado a é paralelo ao lado b aqui embaixo da forma que ele foi construído, isso é apenas um lado aqui. esta linha sobe direto, e vamos conectar esses dois lados aqui. Tem duas maneiras de pensar sobre a área desse trapézio. Uma delas é que poderia pensar como um trapézio e descobrir sua área. E depois poderia pensar como a soma da área dos seus componentes. Então vamos pensar primeiro nesse como um trapézio. Daí sabemos sobre a área de um trapézio? A área de um trapézio será a altura do trapézio, que é a mais b, a mais b. Esta é a altura do trapézio. Vezes a mediana da parte superior e inferior, ou a média da parte superior e inferior. Como aquilo é isto, vezes 1/2 vezes a mais b. a mais b. E a intuição é pegar a altura vezes a média dessa parte inferior e superior, a média da parte inferior e superior vai nos dar a área do trapézio. Como eu poderia também descobrir a área com seus componentes? Não importa como calculamos a área, desde que façamos as coisas corretas a gente vai obter o mesmo resultado. Então, como dá pra descobrir essa área de outra forma? A gente diz que ela é a área destes dois triângulos retângulos. A área de cada um deles é meio a vezes b. Mas tem dois deles. Eu vou usar a mesma cor para o b. Tem dois desses triângulos retângulos e vamos então multiplicar por 2. Duas vezes meio ab, que leva em consideração esse triângulo retângulo inferior e esse triângulo de cima. Qual é a área desse triângulo maior, que eu vou colorir com verde? Qual é a área desse triângulo maior? É muito fácil, ela é meio c vezes c. Então mais 1/2 c vezes c, que é meio c ao quadrado. Vamos agora simplificar e ver o que vamos obter. Acho que já vocês perceberam onde vamos chegar aqui. Vamos ver o que obteremos e reordenar isso. Meio vezes a mais b ao quadrado, a + b ao quadrado, será igual a dois, dois vezes meio, vai ser simplesmente um, será igual a a vezes b mais meio c ao quadrado. Meio c ao quadrado. Eu não gosto desses 1/2 espalhados, então vamos multiplicar os dois lados dessa equação por dois. Vou só multiplicar os dois lados dessa equação por dois, no lado esquerdo ficou apenas com a + b ao quadrado, a + b ao quadrado, e no lado direito eu fico com 2ab, dois ab. Estou tentando usar sempre as mesmas cores. Depois, dois vezes meio c ao quadrado será c ao quadrado mais c ao quadrado. O que acontece se multiplicar a + b por a + b? Quanto é a + b ao quadrado? Será a ao quadrado mais... mais 2ab mais b ao quadrado. b ao quadrado. E no nosso lado direito será igual a tudo isto. Ficar trocando de cores é trabalhoso pra mim, viu? Então eu vou copiar e colar. Vou copiar e colar... Então ainda será igual ao lado direito. Interessante. Como podemos simplificar isso? Tem alguma coisa que possa ser subtraída dos dois lados? Claro! Temos 2ab no lado esquerdo, temos 2ab no lado direito, vamos subtrair 2ab dos dois lados. Se subtrair 2ab dos dois lados, o que vamos obter? Teremos o Teorema de Pitágoras. Nós obtemos a ao quadrado, mais b ao quadrado é igual a c ao quadrado. Não é fascinante? E por isso tenho que agradecer ao vigésimo presidente dos Estados Unidos, James Garfield, porque isso realmente é fascinante. O Teorema de Pitágoras foi criado milhares de anos antes de James Garfield, e ele conseguiu contribuir experimentando enquanto era um membro da câmara de deputados dos Estados Unidos. Parabéns.