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Demonstração do teorema de Pitágoras utilizando similaridade

Transcrição de vídeo

esse triângulo que temos aqui é um triângulo retângulo e é um triângulo retângulo porque tem um ângulo de 90 graus ou tem um ângulo reto chamamos o lado maior de um triângulo retângulo chamamos esse lado e pode ver que o lado mais longo do triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo de 90 graus que é chamado de potência usa uma palavra muito rebuscada para uma idéia razoavelmente simples o lado mais longo do triângulo retângulo ao lado oposto ao ângulo de 90 graus e é bom saber isso porque alguns podem dizer hipotenusa e você pode pensar alice estão apenas falando sobre esse lado o lado maior lado oposto ao ângulo de 90 graus o que eu quero fazer é provar uma relação muito famosa entre os cumprimentos dos lados de um triângulo retângulo suponha que o comprimento de a ser a maiúsculo c maiúsculo vamos chamar esse comprimento aqui de a minúsculo vamos chamar o cumprimento de b c e d minúsculo aqui vou usar maiúsculas para pontos e minúsculas para cumprimentos e vamos chamar o cumprimento da hipotenusa o cumprimento de a b vamos chamar de c vejamos se podemos criar uma relação entre a b e c para fazer isso o primeiro vou construir outra reta ou outro segmento eu deveria dizer entre c ea hipotenusa vou construindo para cruzar o ângulo reto você sempre pode fazer isso podemos chamar esse ponto aqui chamamos esse ponto de d maiúsculo perguntam como sempre consegue fazer isso pode imaginar esse triângulo inteiro rondando assim essa é a comprovação mas apenas da idéia geral de como pode construir um ponto assim se rodá lo agora estamos apoiando na nossa hipotenusa esse é o ponto b esse é o ponto a então rodamos a coisa toda ao contrário esse é o ponto c pode imaginar jogar uma pedra do ponto seco talvez uma corda amarrada e acertaria a hipotenusa com um ângulo reto isso foi o que fizemos aqui para estabelecer os segmentos e de onde pusemos no nosso ponto de aqui a razão pela qual fizemos isso é que agora podemos fazer todos os tipos de relações interessantes em triângulos semelhantes porque temos três triângulos aqui temos o triângulo a descer o triângulo de bc então o maior o triângulo original a gente pode espero estabelecer semelhanças entre esses triângulos primeiro vou mostrar que a dc é similar ao maior porque os dois têm um ângulo reto adc tem um ângulo reto aqui se esse ângulo é de 90 graus esse ângulo será de 90 graus também eles são suplementares tem que somar 180 e os dois têm um ângulo reto o menor tem um ângulo reto o maior claramente tem um ângulo reto que é de onde começamos os dois compartilham esse ângulo reto ângulo de a c ou b à c como quiser se referir a ele na verdade podemos escrever aquele triângulo vou começar com o menor a descer talvez eu cubro esse é o triângulo de que estamos falando triângulo a descer na ordem do ângulo azul até o ângulo reto para o ângulo no meado do ponto de vista de a descer esse ângulo reto não se aplica para aquele ali se aplica para o triângulo maior podemos dizer que o triângulo a descer a descer é semelhante ao triângulo a cbb de novo você deve começar no ângulo azul a e então ir até o ângulo reto esse era o triângulo acb pelo fato deles serem semelhantes a gente pode arranjar uma relação entre as razões dos seus lados por exemplo sabemos a razão dos lados correspondentes em geral para triângulo semelhantes a gente sabe que as razões dos lados correspondentes serão constantes podemos pegar as razões a hipótese usa desse triângulo menor a hipotenusa é a c ou a hipotenusa do maior que é ab assis sobre a b será a mesma coisa que a de como um desse um desses catetos a de só pra mostrar que estou pegando os pontos correspondentes nos dois triângulos similares isso é a de sobre as e você pode olhar para esses triângulos e dizer olha o lado a de está entre o ângulo azul e o ângulo vermelho o lado a ce está entre o ângulo azul eo ângulo vermelho do triângulo maior esses dois são dos triângulos maiores esses são os lados correspondentes do triângulo menor e esse isso ficou confuso desde que tem escrito corretamente nossa afirmação de semelhança pode encontrar os pontos correspondentes a ser corresponde a abih no triângulo maior a de no triângulo menor corresponda às e no triângulo maior sabemos que as e podemos reescrever isso como a minúsculo a ce é a minúsculo a ce é a minúsculo não temos nenhum nome para a de oab temos um nome para a b que é ser aqui não temos um nome para a bem então vamos vamos chamar add minúsculo de minúsculos aplica aquela parte ali se se aplica aquela parte inteira ali vamos chamar de b vamos chamar aquele cumprimento de e isso fala as coisas mais simples para nós a de vamos chamar de d então temos a sobre esse igual à de sobre a se multiplicarmos cruzado avisar é igual ao quadrado igual a seis vezes de que é cd esse é um resultado um pouco interessante vejamos o que podemos fazer com o outro triângulo esse triângulo bem aqui de novo ele tem ângulo reto o maior de um ângulo reto e os dois possuem esse ângulo aqui em comum por semelhança de ângulos os dois triângulos serão semelhantes podemos dizer que o triângulo bdc fomos do rosa para o ângulo reto até o nomeado o triângulo bdc é semelhante ao triângulo agora vamos olhar para o triângulo maior vamos começar com um ângulo rosa ângulo rosa b e vamos para o ângulo reto c a b c a do ângulo rosa para o ângulo reto para o ângulo sem nome pelo menos pelo ponto de vista da que antes do azul agora organizamos um tipo de relação aqui a gente pode dizer que a razão no triângulo menor o bc lado bc sobre b à bbc sobre bea novamente estamos pegando as hipotenusa os dois então bc sobre bea será igual à bd aqui temos outra cor bd isso é um dos catetos bd o modo como o desenho é cateto menor bd sobre bc estou pegando os vértices correspondente sobre bc novamente sabemos que bc é o mesmo que bem minúsculo bc é minúsculo bea é c minúsculo então bd definimos como e minúsculo esse e minúsculo podemos multiplicar cruzado aqui e dê vezes b mencionei isso em muitos vídeos multiplicar cruzando os dois lados pelos dois denominadores de vezes b é b ao quadrado igual a c e agora podemos fazer uma coisa interessante podemos somar essas duas afirmações aqui embaixo deixa eu escrevi aqui em baixo então bem ao quadrado é igual a ser se a gente somar os lados esquerdos obtemos ao quadrado mais b ao quadrado igual a cd mais se temos um ser nesses dois temos para que possamos faturar isso vai ser igual a podemos faturar o c e vai resultar em ser vezes demais e c vezes de mais e fecha os parentes agora quanto é demais é ds comprimento esse cumprimento de mais e vai ser ser também isto vai ser ser então cvc é a mesma coisa que se ao quadrado agora temos uma relação interessante temos aquele ao quadrado mas b ao quadrado igual a ser ao quadrado deixou escrever isso a ao quadrado vou escolher uma cor nova ele tem aquilo por acidente deixou escrever estabelecemos que a ao quadrado mas b ao quadrado é igual a si ao quadrado e esse é apenas um triângulo retângulo arbitrário e se é pra qualquer um dos dois triângulos acabamos de estabelecer que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa esse é provavelmente um dos mais famosos teoremas da matemática nomeado em homenagem a pitágoras mas não está claro se ele foi a primeira pessoa a afirmar isso mas é chamado de teorema de pitágoras teorema de pitágoras e é a base de bom não toda a geometria mas muito da geometria que vamos fazer e forma a base de toda trigonometria que faremos e é realmente muito útil se você conhece os dois lados de um triângulo retângulo então sempre pode achar o terceiro