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Geometria básica e medidas
Curso: Geometria básica e medidas > Unidade 10
Lição 3: Volume de cilindros, esferas e conesVolume de um cone
A fórmula para o volume de um cone é V=1/3hπr². Aprenda a usar esta fórmula para resolver um problema de exemplo. Versão original criada por Sal Khan.
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- emnão intendi por que divide por pi e 5, não era multiplicado? 4:24(5 votos)
- Ele passou o pi e o pi para o pi junto com o pi, ou seja, ele dividiu por pi e por pi em ambos os lados para manter a igualdade no pi.(1 voto)
- Sobre as maneiras intuitivas de perceber o volume do cone, imaginei a seguinte hipótese e minha pergunta é se ela pode ser correta (e se caso não, o porquê):
Seja um cone de altura h, raio r e geratriz g que formam um triângulo retângulo no plano bidimensional do cone, como observado no primeiro desenho emminutos do vídeo. 1:02
Caso esse triângulo gire em volta do eixo vertical (sua própria altura), a figura correspondente não seria o volume do cone? Em tratando-se de fórmula, seria a área do triângulo retângulo em questão multiplicado pelo comprimento da circunferência de raio r (2*pi*r) .... espero que alguém possa me tirar essa dúvida, já que pensar dessa maneira é mais fácil pra mim (resta saber se é correto)(3 votos)- Eu também pensei nisso era só calcular a área do triângulo[(h*r)/2] e multiplicar pelo comprimento, pra mim é mais fácil do quê aceitar que é um terço do cilindro eles deveriam ter provado invés de dizer q era óbvio.
Mais eu não sei se está certo, senão queria saber o por quê.(1 voto)
- Por que emele afirma que o cone é 1/3 do cone, pensei que devesse ser 1/2, tipo quando os triângulos (não pirâmides) são 1/2 de um paralelogramo, que por sua vez pode muito bem ser um quadrado (não cubo)... Mas por falar nisso, quantas vezes cabe uma pirâmide em um cubo? 1/3 também? Se sim, por quê? 2:09
Há tantas perguntas neste universo infinito... será que cabe tudo na nossa mente?(2 votos)- KKKKK Tenho certeza que cabe, se todo dia entrar uma coisa nova, tá valendo.(0 votos)
- não é uma tarefa de dever de casa, mas não consegui compreender a seguinte questão: (Mack/97) A altura de um cone reto é igual ao raio da esfera a ele circunscrita. Então o volume da esfera é:
a) o dobro do volume do cone
b) o triplo do volume do cone
c) o quádruplo do volume do cone
d) 4/3 do volume do cone
e) 8/3 do volume do cone.(2 votos)- c) o quádruplo do volume do cone tá certa a resposta?(2 votos)
- Caraca... Dessa vez não entendi nada. ;s
Alguém pode me explicar a linha de raciocínio da aula?(2 votos)- O cone ocuparia um terço do cilindro, então vc calcula o volume do cilindro e divide por 3.(1 voto)
- Caraca... Dessa vez não entendi nada. ;s
Alguém pode me explicar a linha de raciocínio da aula?(2 votos)- O cone ocuparia um terço do cilindro, então vc calcula o volume do cilindro e divide por 3.(1 voto)
- Alguém pode me explicar melhor o por quê do cone ser 1/3 do cilindro?
Agradeço.(2 votos) - Não seria possível apenas fazer : pi. r2/3?(2 votos)
- Esse vídeo não ficou muito claro pra mim...(2 votos)
- Priscilla, para calcular o volume de um cone, basta utilizar a formula para calcular o volume de um cilindro e depois dividir o resultado por 3.(4 votos)
- Dê uma resposta exata em função de \piπpi ou use 3{,}143,143, comma, 14 para \piπpi.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Vamos pensar um pouco sobre o volume de um cone. Um cone teria uma base circular, eu acho
que depende de como quer desenhar. Se pensar em algo como um tipo de chapéu cônico, teria um círculo como base e chegaria em um ponto. Ele se parece um pouco com isso,
que consideraria um cone da mesma forma. Ou poderia virar de ponta cabeça, como um cone de sorvete, e ia se parecer mais ou menos assim. Essa é a parte superior, e ele desce assim, isso também poderia ser um daqueles copinhos descartáveis de água que pode encontrar em alguns bebedores. É importante lembrar que quando quiser saber o volume de um cone precisamos saber o raio da base. Este é o raio da base, ou aqui é o raio da parte superior. Certamente precisa saber o raio. E precisa saber
a altura do cone, então vamos chamar de h Vou escrever aqui e pode chamar a distância de h. A fórmula para encontrar o volume de um cone é interessante porque ela se parece bastante com a fórmula para encontrar o volume de um cilindro, o que de certa forma é surpreendente. O bacana a respeito de várias dessas figuras tridimensionais da geometria justamente é o fato de não ser tão complicado
quanto pode se imaginar. É a área da base, qual é a área da base?
A área da base será pi r ao quadrado, será pi r ao quadrado vezes a altura. E se simplesmente multiplicar a altura vezes pi r ao quadrado, te dará o volume de um cilindro inteiro que se parece com aquilo e revelaria
o volume inteiro da figura que se parece com isto, onde o centro da sua parte superior é a pontinha. Se eu deixasse como pi r ao quadrado h ou h multiplicado por pi r ao quadrado, é o volume dessa lata inteira, desse cilindro, inteiro,
mas se quiser apenas o cone será apenas um terço disso. E é o que eu quero dizer quando afirmo que é surpreendente claro o fato deste cone ter um terço do volume deste cilindro, que é basicamente o que poderia pensar, nesse cilindro como um limitador ao seu redor, ou se quisesse escrever de forma diferente daria pra fazer como um terço vezes pi ou pi sobre três vezes h r ao quadrado, como quiser visualizar. A maneira que eu acho mais fácil? Para mim o volume de um cilindro é algo muito intuitivo, você pega a área da base e multiplica pela altura, daí o volume de um cone é apenas um terço disso. É apenas um terço do volume do cilindro limitador . Essa é uma maneira de entender. Mas vamos aplicar esses números só para ter
certeza de que faz sentido para a gente. Digamos que é um tipo de copo cônico,
do tipo que pode encontrar em bebedores, e digamos que fomos informados de que este copo tem a capacidade de armazenar
131 centímetros cúbicos de água. Informaram que sua altura... Deixa eu usar outra cor. Fomos informados de que a altura deste cone é 5 centímetros. E isto dito, qual seria aproximadamente
o raio da parte superior deste copo? Digamos que a gente se aproximaria
ao décimo de centímetro. Bom, mais uma vez teria que aplicar
a fórmula. O volume, que é 131 centímetros cúbicos, será igual a um terço vezes pi multiplicado pela altura, que é cinco centímetros, vezes o raio ao quadrado. Se quisesse resolver para o quadrado do raio, poderia dividir os dois lados por tudo e obteria o raio ao quadrado, que é igual a 131 centímetros ao cubo. Ou 131 centímetros cúbicos, eu diria. Você divide por um terço, e é a
mesma coisa que multiplicar por três. Então certamente dividiria por pi, vai dividir por cinco centímetros... Legal ver se é possível simplificar isso. Esse centímetros será eliminado com um desses outros centímetros, daí deve ficar apenas com centímetros quadrados no numerador. Para resolver r poderia calcular a raiz quadrada
dos dois lados e dizer que r será igual à raiz quadrada de três vezes 131, que é 393 sobre cinco pi. Essa parte bem aqui. Mais uma vez, lembre-se que podemos tratar unidades exatamente como quantidades da álgebra. A raiz quadrada de centímetros quadrados... Bom, vai ser apenas centímetros, o que é bacana porque queremos as unidades em centímetros. Pegando a calculadora para calcular
essa expressão doida aqui. Vamos ver, raiz quadrada de 393 dividido por cinco, vezes pi é igual a cinco! É bem próximo, é o mais próximo.
É cinco centímetros, nosso raio é aproximadamente igual a cinco centímetros, pelo menos nesse exemplo.