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2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 2 (a e b)

Aproximando a taxa de variação e a área total sob uma curva. Somas trapezoidais para aproximar integrais. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - A maneira que uma porção de chá esfria é modelada pela função diferenciável H para "t" entre zero e 10, onde o tempo "t" é medido em minutos e a temperatura H(t) é medida em graus Celsius. Os valores H(t) em determinados instantes "t" são mostrados na tabela acima. Utilize os dados da tabela para determinar aproximadamente a taxa de variação da temperatura pelo tempo no instante 3,5 minutos. Descreva os passos que levaram à sua resposta. Em primeiro lugar, o que nós podemos fazer é o gráfico e saber como essa curva está se comportando dentro desse intervalo que foi dado. Então, temos aqui o tempo em minutos e aqui a temperatura em função do tempo, em graus Celsius. Nós vamos ter várias temperaturas. Foi dado 66, foi dado 60, foi dado 52, foi dado 44 e foi dado 43. Em zero minuto, ele vai estar com 66 ºC. Em 2 minutos, ele vai estar com 60 ºC. Em 5 minutos, ele vai estar com 52 ºC. Em 9 minutos, ele vai estar com 44 ºC. E, em 10 minutos, ele vai estar com 43 ºC. Então, a curva é mais ou menos desta forma. Ele quer a inclinação em 3,5 minutos, o que vai dar um valor por aqui. Para pegar essa inclinação, vamos pegar a inclinação de 2 até 5. Pegando esses dois valores, de 2 minutos até 5 minutos, nós vamos ter que a taxa, que vai ser a inclinação desta reta, vai ser H(5) - H(2), dividido por (5 - 2). Ou seja, nós vamos ter que a taxa vai ser igual a: em 5 temos 52, em 2 temos 60, dividido por 3, que é 5 - 2. Ou seja, a taxa vai ser igual a -8/3 graus Celsius por minuto. Esta é a taxa de variação estimada em 3,5 minutos. Vai ser a média entre o valor de 2 minutos, que dá 60 ºC, e o valor em 5 minutos, que dá 52 ºC. Então, nós temos que a inclinação é negativa. Letra B agora: utilizando as devidas unidades, explique o significado de 1/10 da integral definida de zero a 10 de H(t) dt no contexto deste problema. Use a soma trapezoidal com os quatro subintervalos indicados na tabela para estimar esta integral dividida por 10. O que significa a integral de H(t) dt no intervalo de zero a 10? Vai ser a temperatura vezes o tempo, ou seja, graus Celsius vezes minutos. Como ele quer 1/10, estamos presumindo que esse 1 sobre 10 seria 1 sobre 10 minutos. Então, isto vai ser a temperatura média, um H médio. É isso que ele quer saber quando a gente vai calcular através das áreas trapezoidais. Vamos pegar uma a uma. No ponto 2, nós temos este trapézio. No ponto de 2 a 5, vamos ter este outro trapézio. No ponto de 5 a 9, nós vamos ter este outro trapézio e, de 9 a 10, este quarto trapézio. Somando a área dos trapézios... Vou colocar em cores diferentes... A área do primeiro, mais a área do segundo trapézio, mais a área do terceiro trapézio, mais a área do quarto trapézio, vamos ter esta área total. Como a gente calcula a área deste primeiro trapézio? A área do primeiro trapézio vai ser: o valor médio entre 60 e 66 é 63. Então, a base maior mais a base menor, dividido por 2 vai dar 63, vezes a altura, que neste caso é 2, portanto, 63 vezes 2, que vai dar 126. Nesta segunda área, nós temos: 52 para 60, o valor médio vai ser 56. Portanto, aqui, nós temos 56. Vezes a altura: de 2 para 5, vamos ter 3. Ou seja, esta segunda área vai ser de 168. Na terceira área, nós vamos ter: de 44 até 52, o valor médio vai ser... 44 + 4 = 48. Vai ser 48 vezes a altura que é, de 5 para 9, 4. Ou seja, nós vamos ter um valor de 192. E, finalmente, esta última área, que vai ser: de 43 a 44, a média ser 43,5. Vezes a altura, que é 1, fica o próprio 43,5. Somando estas áreas, vamos ter; 126 + 168 + 192 + 43,5, que vai dar 529,5. Mas queremos 1/10 disso, ou seja: 529,5 é esta integral. Quando dividirmos por 10 (minutos, no caso), vamos ter a temperatura média, que será de 52,95 ºC.